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Integração usando o método de completar quadrados e a derivada de arctg(x).

Às vezes podemos integrar funções racionais usando o método de completar quadrados no denominador, e então integrar usando integração por substituição e nosso conhecimento sobre a derivada de arctg(x).

Transcrição de vídeo

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer uma integração usando o método de completar quadrados e vamos descobrir a derivada do arco tangente. Vamos relembrar a derivada do arco tangente de x. Para isso, nós vamos resolver: ∫ 1 / 5x² - 30x + 65, dx. Sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá! Essa é uma integral bastante confusa, precisamos prestar atenção em cada detalhe. Você pode tentar vários métodos de integração e em muitos você não vai conseguir resolver. O que vou fazer aqui é utilizar o método de completar quadrados para fatorar esse denominador. Quando eu resolver isso, você vai ver que o resultado é igual a arctg(x). Só relembrando, se eu quiser calcular a derivada de arctg(u), isso vai ser igual a u' dividida por 1 + u². Para completar esse quadrado, note que todos os termos desse denominador estão sendo multiplicados por um fator 5. Então, posso colocar aqui 1/5 em evidência, que multiplica ∫ 1 / x² - 6x + 13, dx. Isso porque, se eu multiplicar 5 por essa expressão, nós vamos ter isto aqui. Agora, sim, nós podemos completar o quadrado. Deixa eu reescrever aqui: 1/5 vezes ∫ 1 / x² - 6x, e vou colocar o +13 isolado aqui. Observe que isto aqui não é um trinômio quadrado perfeito. Está faltando algo! Para resolver isso, posso somar e subtrair algo aqui a fim de completar esse quadrado. Ou seja, quero transformar esta parte aqui em um trinômio quadrado perfeito. Já falamos de completar quadrado em outras aulas. Nós pegamos esta parte, que neste caso é -3, e elevamos ao quadrado, então, você tem +9 aqui. Mas eu não posso simplesmente adicionar algo a uma expressão. Para resolver isso, eu tenho que subtrair 9. Com isso, x² - 6x + 9 é a mesma que (x - 3)², e -9 + 13 = 4. Vamos ficar com 1/5, que multiplica ∫ 1 / (x - 3)² + 4, que eu posso escrever como 2², tudo isso vezes dx. Claro, eu reescrevi dessa forma porque já está começando a parecer com arctg. Mas eu vou simplificar ainda mais. O que eu posso fazer aqui é dividir todo mundo por 4, que é a mesma coisa que multiplicar por 1/4. Vamos ficar com 1/5 vezes 1/4, que vai dar 1/20, que multiplica ∫ 1 / (x - 3)² sobre 4, que eu posso escrever como 2², mais 1. Eu ainda posso simplificar mais. Eu posso escrever 1/20 vezes ∫ 1 / (x - 3)² / 2², que eu posso reescrever como (x - 3 / 2)², mais 1, tudo isso vezes dx. Agora, sim, isto está parecido com isto. Agora, eu posso fazer a substituição u. Eu posso chamar isto aqui de u. E eu já posso colocar separado escrevendo 1/2 x - 3/2. Ou seja, eu só escrevi x/2 - 3/2. E du vai ser igual a 1/2 dx. Olhando para a nossa integral, eu preciso que, no numerador, apareça 1/2. Então, eu posso transformar isto aqui em 1/2, mas, para fazer isso, tenho que multiplicar isto por 2. 2 vezes 1/20 é a mesma coisa que um 1/10. Vamos ficar com um 1/10 que multiplica a integral... Observe que, nesta parte, eu tenho 1/2 dx, que é a mesma que du. Com isso, eu posso colocar du no numerador ou colocar aqui ao lado. Eu vou ficar com 1 sobre isto aqui mais 1. x - 3 / 2 = u. Então, vamos ficar com u² + 1. Se você perceber, isto aqui é a derivada de arctg. Então, eu posso dizer que isso é igual a 1/10, que multiplica arctg(u). Como nós temos uma integral indefinida, nós devemos somar com uma constante C. Agora, devemos voltar para a nossa variável original, já que fizemos uma substituição aqui. Então, vamos ter 1/10 arctg(u), que, neste caso, é (x - 3/2) + C. Claro que aqui eu poderia reescrever assim também. Eu só coloquei desse jeito para ficar mais fácil. Então, esta aqui é a integral disto aqui. Eu espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!