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Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos ver integrações por parte de integrais definidas E para isso nós vamos resolver a integral de 0 a tep mexi vezes o cosseno de x DX E como sempre eu sugiro que você pode o vídeo e tem resolver sozinho aqui nós não temos uma integral simples na qual bastaria achar a anti derivada e depois aplicar O Teorema Fundamental do Cálculo utilizando esse intervalo nós vamos precisar de uma técnica um pouco mais sofisticada quando você tem um produto entre duas funções e é bem fácil encontrar a derivada de uma delas isso é um sinal que devemos utilizar a integração por partes veja bem nós temos o produto entre duas funções é muito fácil encontrar a derivada de x que é um e vamos relembrar a integração por partes se eu tiver a integral de f de x a derivada de G de X DX e eu vou colocar aqui indefinida mas depois eu vou avaliar nesse intervalo Isso vai ser igual a função f de x vezes gdx menos a integral de f de x GTX e só para relembrar o que eu disse em outra aula se você quer encontrar um f de x quando tirarmos a sua derivada isso vai simplificar o f de x e se você tirar a anti derivada de GTX não fica mais complicada basicamente quando utiliza a integração por parte nós é a função f e derivamos e ela vai ficar simplificada enquanto na derivada de G nós vamos pegar a sua anti derivada e não vai ficar mais complicada e por causa disso essa expressão é mais fácil de ser encontrada vamos fazer isso aqui então entre x e cosseno de x Qual é a derivada mais fácil de se encontrar obviamente a derivada de x é mais fácil é um Então esse x aqui vai ser o fdx fdx = x e a derivada de f de x = 1 e qual é a derivada de GTX essa aqui é a função GTX E se eu encontrar a anti derivada isso não vai ficar mais complicado o que eu estou querendo dizer aqui é que encontrar a derivada e são f de x é algo fácil e encontrar a anti derivada de GTX não é algo tão complicado então a derivada de G de X = cosseno de x e a integral de cosseno de x é a função g de X = seno de x agora Finalmente nós podemos utilizar a integração por parte então isso aqui vai ser igual fdx vezes GTX Portanto vamos ter x vezes e g de X = seno de x menos a integral da derivada de x e a derivada de x é um então a integral de um vezes GX = seno de x DX Claro que eu não preciso colocar esse um aqui né eu queria simplesmente colocar seno de x DX deixa eu pagar um então e agora podemos utilizar O Teorema Fundamental do Cálculo nesse intervalo ou seja de 0 AP para toda essa expressão Mas qual é a integral indefinida de seno de x DX sabemos que a derivada do Cosseno é menos uns e no e para chegar nesse resultado nós podemos mudar esse sinal e colocar um menos aqui agora sim né a integral de menos seno de x DX é o cosseno de x e agora nós podemos utilizar o intervalo e substituindo o pe nós vamos ficar com pi vezes o seno de pi + cosseno de Pi e subtraímos isso substituindo o zero então menos 10 vezes 10 + cosseno de 0 e seno de pi é zero portanto Isso aqui vai ser cancelado cosseno de Pi é menos um Isso aqui vai dar a 0 e o cosseno de 0 é um E aí você vai ter menos um menos um que vai ser igual a menos dois ou seja resolvemos essa integral utilizando integração por parte e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal
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