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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 13: Uso da integração por partes- Introdução à integração por partes
- Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx
- Integração por partes: ∫ln(x)dx
- Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx
- Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Integração por partes
- Integração por partes: integrais definidas
- Integração por partes: integrais definidas
- Desafio de integração por partes
- Revisão de integração por partes
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Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx
Exemplo resolvido do cálculo de uma integral indefinida, em que a integração por partes é aplicada duas vezes. Versão original criada por Sal Khan.
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- Parece que há um erro, pois o vídeo não tem relação com o título e nem exatamente com a parte de Integração por Partes.
Tentei fazer sozinho a ∫x²(e)^x e destaquei que f(x) = x², f'(x)= 1/x , g'(x)= e^x , g(x)= e^x. Então teria que:
∫x²(e)^x = x²(e)^x -∫2x(e)^x
Nesse ponto tem-se novamente uma Integração por Partes, então destaco mais uma vez que
h(x)= x, h'(x)= 1, i'(x)= e^x, i(x)= e^x
Tem-se:
∫x²(e)^x = x²(e)^x -∫2x(e)^x = x²(e)^x -2∫x(e)^x =
= x²(e)^x -2[x(e)^x -∫e^x] = x²(e)^x -2[x(e)^x -e^x]
Portanto
∫x²(e)^x = x²(e)^x -2[x(e)^x -e^x]
Deixo aqui como dúvida e debate para saber se está correto.(2 votos)- Sua resposta parece correta. No meu resultado, eu simplifiquei de uma maneira diferente (mas equivalente à sua):
e^x\left(x^2-2x+2\right)(1 voto)
- a integral por parte de e^x ( 2x +5)(1 voto)
- a integral por parte de e elevado a x ( 2x + 5)(1 voto)
Transcrição de vídeo
Vejamos se conseguimos
tomar a anti-derivada do quadrado de x vezes
e elevado a x, dx Agora, o segredo é reconhecer
quando você pode ao menos tentar usar a integração por partes. Pode ser meio óbvio porque este vídeo é
sobre integração por partes. Mas o segredo de quando
a integração por partes pode ser utilizada
é perceber quando tenho uma função
que é o produto de duas outras funções - neste caso,
quadrado de x e e elevado a x. A integração por partes
pode ser útil se eu puder tomar a derivada de
uma das funções, e tudo fica
mais simples. E se eu tomar a
anti-derivada da outra, fica menos complicado. Então, neste caso, se tomarmos
a anti-derivada de x ao quadrado,
ficará mais simples Será igual a 2x. Tomando a anti-derivada
de e elevado a x ela ficará ainda
menos complicada. Então vamos designar f de x
sendo igual a x ao quadrado. Queremos que ela seja a parte que, ao tomarmos sua derivada,
ficará mais simples. Porque eu vou tomar
a derivada de f de x aqui na fórmula
de integração por partes. Vamos designar g linha de x
sendo igual a e elevado a x Porque depois tomaremos sua
anti-derivada, e a anti-derivada de e elevado a x,
continua sendo e elevado a x. Então deixe-me escrever isso. Estamos falando que f de x-
farei isto bem aqui- f de x é igual a x quadrado,
e f linha de x é igual a 2x. Não estou preocupado com
constantes agora. Colocaremos as constantes no final, para certificar que a
anti-derivada esteja na sua forma mais genérica. E então g linha de x é
igual a e elevado a x, o que significa que a
sua anti-derivada, g de x, é também igual a e elevado a x. Agora estamos prontos
para cuidar do lado direito logo aqui. Então tudo isso aqui será igual a f de x, que é
x quadrado - vou escrever tudo aqui embaixo-
x ao quadrado vezes g de x, que é e elevado a x, menos - vou fazer na cor amarela. Quero que as cores coincidam - menos a anti-derivada
de f linha de x. Bem, f linha de x é 2x,
vezes g de x, g de x é e elevado a x dx. Você pode dizer,
ei Sal, nós ficamos com
outra anti-derivada, outra integral
indefinida logo aqui. Como vamos resolver isso? E como você pode imaginar,
o segredo pode ser a integração
por partes novamente. Estamos progredindo. Essa aqui é uma expressão mais
simples do que essa. Veja que fomos capazes de
reduzir o grau de x ao quadrado. É agora só 2x. E o que podemos fazer
para simplificar mais, Já que 2 é um módulo,
uma constante que está multiplicando a função,
podemos tirá-la do sinal de integração. Vamos fazer deste jeito. Vou reescrever assim. Nós só podemos
fazer isso com constantes que estão
multiplicando a função. Vou colocar o 2 aqui. E agora o que
nos interessa é encontrar a integral-
deixe-me escrever aqui- a integral de x vezes
e elevado a x dx. E isso é outro problema
de integração por partes. Então vamos aplicar os mesmos
princípios de integração por partes. O que ficará mais simples quando tomarmos a derivada? Bom, x ficará mais simples
ao tomarmos sua derivada. Então, em termos de integração
por partes, vamos redefinir f de x
como sendo igual a x. E então nós ainda teremos g linha
de x sendo igual a e elevado a x E neste caso, deixe-me escrever
tudo isso. f de x é igual a x. f linha de x é igual a 1. g linha de x é
igual a e elevado a x, g de x, é só a
anti-derivada disso, que é igual a
e elevado a x. Então vamos integrar
por partes novamente. Então isso será igual a
f de x vezes g de x Agora f de x é x g de x é e elevado a x, menos a
anti-derivada de f linha de x-- isso é igual a 1
vezes g de x-- e elevado a x. Isso é 1 vezes e
elevado a x dx. E lembre-se, tudo que
estou fazendo aqui, você pode ter se perdido, só estou focado
nesta anti-derivada. Aquela anti-derivada é esta
anti-derivada aqui. Se podemos entender qual é, então podemos substituir
na expressão original. Agora, você pode apreciar
a integração por partes. O que isso aqui simplifica? Qual é a anti-derivada de 1 vezes
e elevado a x dx? Ou, qual é a anti-derivada de
1 vezes e elevado a x? Bom, é só a anti-derivada de e elevado a x, que é
igual a e elevado a x. Então isso se simplifica
para x vezes e elevado a x, menos a anti-derivada
de e elevado a x, que é e elevado a x,
então, menos e elevado a x. E podemos pegar isso
e substituir de volta. Isto é a anti-derivada disto. Então, podemos substituir
de volta aqui para entender qual é a anti-derivada
da expressão original. Então a anti-derivada
da expressão original, estamos chegando
bem perto, será igual a -
usarei cores diferentes para podermos entender
o que acontece. Será igual a x quadrado vezes e elevado a x,
menos 2 vezes tudo isso aqui. Então, menos 2 vezes -
bem, esta anti-derivada nós descobrimos agora - menos 2 vezes x vezes e elevado a x,
menos e elevado a x. E se quisermos, agora é
uma boa hora de colocar o mais C. E é claro, podemos
simplificar isso. Isto é igual a x ao quadrado- gosto de manter as mesmas cores- Isto é igual a x ao quadrado
vezes e elevado a x. Você multiplica esses
termos por menos 2. Ficamos com menos 2 vezes x vezes e
elevado a x, mais 2 vezes e elevado a x, e finalmente, mais C
E acabamos. Descobrimos a anti-derivada do que parecia ser uma
expressão cabeluda usando a integração por partes duas vezes. Legendado por [ Luiz Pasqual ]
Editado por Maria Oberlander