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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 15: Cálculo de integrais imprópriasRevisão de integrais impróprias
Revise seus conhecimentos de integrais impróprias.
O que são integrais impróprias?
Integrais impróprias são integrais definidas que cobrem uma área ilimitada.
Um tipo de integrais impróprias são aquelas em que ao menos uma extremidade é estendida até o infinito. Por exemplo, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.
Outro tipo de integral imprópria são integrais cujas extremidades são finitas, mas a função integrada é ilimitada em pelo menos uma (ou duas) das extremidades. Por exemplo, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.
Uma área ilimitada que não é infinita? Isso existe? Sim! Nem todas as integrais impróprias tem valores finitos, mas algumas delas definitivamente têm. Quando o limite existe, dizemos que a integral é convergente, e quando não existe, dizemos que é divergente.
Quer aprender mais sobre integrais impróprias? Confira este vídeo.
Conjunto de exercícios 1: cálculo de integrais impróprias com extremidades ilimitadas
Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Podemos usar o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:
Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular:
Quer resolver mais problemas como este? Confira este exercício.
Conjunto de exercícios 2: cálculo de integrais impróprias com funções ilimitadas
Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. De novo, use o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:
Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular:
Quer resolver mais problemas como este? Confira este exercício.
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