Revisão de integrais impróprias

Integrais impróprias são integrais definidas que cobrem uma área ilimitada.

Um tipo de integrais impróprias são aquelas em que ao menos uma extremidade é estendida até o infinito. Por exemplo, $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.

Outro tipo de integral imprópria são integrais cujas extremidades são finitas, mas a função integrada é ilimitada em pelo menos uma (ou duas) das extremidades. Por exemplo, $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite $\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.

Uma área ilimitada que não é infinita? Isso existe? Sim! Nem todas as integrais impróprias tem valores finitos, mas algumas delas definitivamente têm. Quando o limite existe, dizemos que a integral é convergente, e quando não existe, dizemos que é divergente.

Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Podemos usar o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:

Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular:

Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite $\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. De novo, use o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:

Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular: