Revisão de integrais impróprias

Integrais impróprias são integrais definidas que cobrem uma área ilimitada.

Um tipo de integrais impróprias são aquelas em que ao menos uma extremidade é estendida até o infinito. Por exemplo, ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍.

Outro tipo de integral imprópria são integrais cujas extremidades são finitas, mas a função integrada é ilimitada em pelo menos uma (ou duas) das extremidades. Por exemplo, ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ é uma integral imprópria. Ela pode ser entendida como o limite ${\displaystyle \underset{a\to 0^{+}}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍.

Uma área ilimitada que não é infinita? Isso existe? Sim! Nem todas as integrais impróprias tem valores finitos, mas algumas delas definitivamente têm. Quando o limite existe, dizemos que a integral é convergente, e quando não existe, dizemos que é divergente.

Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍. Podemos usar o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:

Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular:

Vamos calcular, por exemplo, a integral imprópria ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍. Como mencionado acima, é útil ver essa integral como o limite ${\displaystyle \underset{a\to 0}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍. De novo, use o teorema fundamental do cálculo para encontrar uma expressão para a integral:

Agora nos livramos da integral e temos um limite para calcular: