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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
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Somas de Riemann à esquerda e à direita
Áres sob curvas podem ser estimadas com retângulos. Tais estimativas são chamadas de somas de Riemann.
Suponha que nós queremos calcular a área sob essa curva:
Podemos ter dificuldades para calcular a área exata, mas podemos fazer uma aproximação usando retângulos:
E nossa aproximação fica melhor se usamos mais retângulos:
Esses tipos de aproximações são chamados de somas de Riemann e são uma ferramenta fundamental para o cálculo integral. Nosso objetivo, por hora, é nos concentrar em compreender dois tipos de somas de Riemann: somas de Riemann à esquerda e somas de Riemann à direita.
Somas de Riemann à esquerda e à direita
Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.
Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.
Nenhuma opção é estritamente melhor que a outra.
Subdivisões/partições da soma de Riemann
Termos comumente mencionados quando trabalhamos com somas de Riemann são "subdivisões" ou "partições". Estes se referem ao número de partes em que dividimos o intervalo de x, para obter os retângulos. Simplificando, o número de subdivisões (ou partições) é o número de retângulos que usamos.
Subdivisões podem ser uniformes, o que significa que elas têm a mesma largura, ou não uniformes.
Subdivisões uniformes | Subdivisões não uniformes |
---|---|
Problemas de soma de Riemann com gráficos
Imagine que tenhamos que aproximar a área entre y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis e o eixo x de x, equals, 2 a x, equals, 6.
Digamos que decidimos usar uma soma de Riemann à esquerda com quatro subdivisões uniformes.
Aviso: cada retângulo toca a curva no seu canto superior esquerdo, porque estamos usando uma soma de Riemann à esquerda.
Somando as áreas dos retângulos, temos 20 unidadessquared, que é uma aproximação para a área sob a curva.
Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.
Imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f de x, equals, 1 a x, equals, 10 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para f.
x | 1 | 4 | 7 | 10 | |
f, left parenthesis, x, right parenthesis | 6 | 8 | 3 | 5 |
Um bom primeiro passo é descobrir a largura de cada subdivisão. A largura de toda a área que estamos aproximando é de 10, minus, 1, equals, 9 unidades. Se estamos usando três subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
A partir daí, precisamos descobrir a altura de cada retângulo. Nosso primeiro retângulo está no intervalo open bracket, 1, comma, 4, close bracket. Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, seu vértice superior direito deve estar sobre a curva onde x, equals, 4, então o valor de y é f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
De forma similar, podemos descobrir que o segundo retângulo, que fica no intervalo open bracket, 4, comma, 7, close bracket, tem seu vértice superior direito em f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Nosso terceiro (e último) retângulo tem seu vértice superior direito em f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Agora só resta fazer as contas.
Primeiro retângulo | Segundo retângulo | Terceiro retângulo | |
---|---|---|---|
Largura | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd |
Altura | start color #e07d10, 8, end color #e07d10 | start color #7854ab, 3, end color #7854ab | start color #ca337c, 5, end color #ca337c |
Área | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15 |
Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter nossa aproximação: 48 unidadessquared.
Agora imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript de x, equals, minus, 3 até x, equals, 3 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O intervalo total open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket tem 6 unidades de largura, então cada um dos três retângulos deve ter 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd unidades de largura.
O primeiro retângulo está em open bracket, minus, 3, comma, minus, 1, close bracket, então sua altura é f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. Da mesma maneira, a altura do segundo retângulo é f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab e a altura do terceiro retângulo é f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Primeiro retângulo | Segundo retângulo | Terceiro retângulo | |
---|---|---|---|
Largura | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd |
Altura | start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10 | start color #7854ab, 2, end color #7854ab | start color #ca337c, 8, end color #ca337c |
Área | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16 |
Então, nossa aproximação é de 21 unidadessquared.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam
Somas de Riemann são aproximações da área sob uma curva, então serão sempre ligeiramente maiores do que a área real (uma superestimação), ou ligeiramente menores do que a área real (uma subestimação).
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Aviso: se a soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação depende de se a função for crescente ou decrescente no intervalo e se a soma de Riemann é à direita ou à esquerda.
Pontos principais que devem ser lembrados
Como aproximar a área sob uma curva com retângulos
A primeira coisa que você deve ter em mente quando ouvir as palavras "soma de Riemann" é que nós estamos usando retângulos para estimar a área sob a curva. Devemos visualizar uma situação como esta:
Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação
Em geral, quanto mais subdivisões (ou seja, retângulos) usarmos para aproximar uma área, melhor será a aproximação.
Somas de Riemann à esquerda x à direita
Tente não confundi-las. Uma soma de Riemann à esquerda usa retângulos cujos vértices superiores esquerdos se situam na curva. Uma soma de Riemann à direita usa retângulos cujos vértices superiores direitos se situam na curva.
Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
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Superestimação e subestimação
Quando usamos somas de Riemann, algumas vezes obtemos uma superestimação e outras vezes uma subestimação. É importante ser capaz de discernir quando uma determinada soma de Riemann é uma superestimação e quando ela é uma subestimação.
Em geral, se uma função for sempre crescente ou sempre decrescente em um intervalo, nós podemos dizer se a aproximação da soma de Riemann será uma superestimação ou uma subestimação com base em se ela é uma soma de Riemann à esquerda ou à direita.
Direção | Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
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Crescente | Subestimação | Superestimação |
Decrescente | Superestimação | Subestimação |
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