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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
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Entendendo a regra do trapézio
Confira um exemplo em que se usa a regra do trapézio e, em seguida, resolva sozinho alguns problemas.
Agora você sabe que podemos usar somas de Riemann para aproximar a área debaixo de uma função. Somas de Riemann usam retângulos, o que nos leva a algumas aproximações bem forçadas. Mas e se usarmos trapézios para aproximar a área debaixo de uma função em vez de retângulos?
Ideia-chave: usando trapézios (também conhecido como a "regra do trapézio") temos aproximações mais precisas do que usando retângulos (também conhecido como "soma de Riemann").
Um exemplo da regra do trapézio
Vamos dar uma olhada na regra usando três trapézios para aproximar a área sob a função no intervalo .
Isso é o que um diagrama mostra quando chamamos o primeiro trapézio , o segundo trapézio e o terceiro trapézio :
Lembre-se de que a área de um trapézio é em que é a altura e e são as bases.
Cálculo da área de
Precisamos pensar no trapézio como se ele estivesse deitando de lado.
A altura é o na parte inferior de que se estende de para .
A primeira base é o valor de em , o qual é .
A segunda base é o valor de em , o qual é .
É assim que tudo isso fica visualmente:
Vamos agora agrupar todos esses conceitos para calcular a área de :
Simplifique:
Cálculo da área de
Vamos encontrar a altura e ambas as bases:
Substituindo e simplificando:
Cálculo da área de
Cálculo da aproximação da área total
Calculamos a área total somando as áreas de cada um dos três trapézios:
Aqui está a resposta final simplificada:
Você deveria fazer uma pausa aqui e revisar a álgebra para ter certeza de que entendeu como chegamos a esse resultado!
Problema prático
Desafio
Quer participar da conversa?
- Caros srs gostaria de tirar uma dúvida na resposta considerada correta no "Problema prático" onde a função f(x)=2ln(x), no intervalo [2, 8]. A resposta correta não seria"Área total= 3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)?
A correção está apontando como correta 3/2(ln2...) Grato e desculpem minha dúvida. Abs(6 votos)- T= h((B+b)/2)
h=1,5 ou 3/2 para todos
T1=> B=2 e b=3,5
T2=> B=3,5 e b=5
T3=> B=5 e b=6,5
T4=> B=6,5 e b=8
T1=1,5*((2ln(2)+2ln(3,5)/2) => T1=1,5*((2*(ln(2)+2n(3,5)/2) =>
T1=(1,5)*((ln(2) + ln(3,5)) => mesmo raciocínio:
T2=(1,5)*(ln(3,5) + ln(5))
T3=(1,5)*((ln(5) + ln(6,5))
T4=(1,5)*((ln(6,5)+ ln(8))
somando teriamos: (3/2)*(ln2 + 2ln3,5 + 2ln5 + 2ln6,5 + ln8))
talvez o seu erro tenha sido considerar altura como valor 2, igual exercício anterior, não um 1,5 como neste.
Espero tê-lo ajudado.(9 votos)