Somas de ponto médio

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos obter um entendimento de como podemos aproximar a área sob uma curva. Como exemplo, vamos usar a curva ''y = x² + 1". Vamos pensar sobre a área sob essa curva acima do eixo "x" e de "x = -1" a "x = 2". Então, é esta área bem aqui que vamos pensar. Existem muitas maneiras que eu poderia usar para resolver isso, mas o que eu vou fazer aqui é quebrar esse intervalo em 3 sessões iguais que servirão como bases para retângulos. Vamos pensar sobre diferentes formas de definir as alturas desses retângulos, e aí encontrar uma aproximação para a área usando a área desses 3 retângulos de larguras iguais. Sabendo disso, vamos pensar sobre as diferentes formas que podemos definir as alturas dos retângulos. Então, primeiro, vamos definir as alturas de cada retângulo utilizando o valor da função no ponto médio. Sendo assim, teremos isso bem aqui. Vamos ter certeza que isso realmente faz sentido? Se a gente olhar para o nosso primeiro retângulo aqui, é importante perceber que nós dividimos esse intervalo em 3 sessões iguais. Como nosso intervalo vai de "x = -1" até "x = 2", temos que cada intervalo tem uma largura igual a 1. Se a gente quisesse uma aproximação melhor, a gente poderia ter feito mais sessões ou mais retângulos. Mas vamos ver como nós calcularíamos isso que temos aqui. Bem, a largura de cada um deles é 1, a altura é baseada no valor da função no ponto médio. O ponto médio aqui é -1/2. O ponto médio aqui é 1/2 e o ponto médio aqui é 3/2. Então, esta altura aqui vai ser (-1/2)² + 1. (-1/2)² é um 1/4 positivo. aí, isso mais 1 é igual 5/4. Portanto, a altura aqui é 5/4. A área será a 5/4 vezes 1, que é 5/4. Vamos anotar isso aqui. Se estivermos usando o ponto médio para definir a altura de cada retângulo, este primeiro teria uma área de 5/4. Utilizando a mesma ideia com o segundo retângulo, temos que (1/2)² + 1 é 5/4. Aí, a área vai ser igual a 5/4 vezes a largura, que é 1. Assim, teremos que a área do segundo retângulo é igual a 5/4. Eu vou adicionar isso aqui. Então, temos 5/4 + 5/4. Agora, e este terceiro retângulo? Qual é a sua altura? Bem, vamos pegar a altura aqui no ponto médio. Temos aqui (3/2)², que é 9/4, e isso mais 1 é igual a 13/4. Portanto, temos que a área é igual à altura, ou seja, 13/4 vezes a largura, que é 1. Então, vamos ter aqui a área sendo apenas igual a 13/4, aí a gente adiciona esse 13/4 aqui. Somando tudo isso, temos 23/4, que é a mesma coisa que 5 e 3/4. Isso é frequentemente conhecido como uma aproximação de ponto médio, onde estamos usando o ponto médio de cada intervalo para definir a altura do nosso retângulo. Mas essa não é a única maneira de fazer isso. Podemos também olhar para extremidade esquerda, ou para a extremidade direita de cada intervalo. Inclusive, vamos fazer isso em outros vídeos. Mas, se a gente quiser se divertir aqui um pouquinho, a gente pode fazer isso também. A gente consegue fazer isso bem rápido. Então, vamos olhar aqui para os limites esquerdos de cada intervalo. Aqui em nosso primeiro intervalo, temos que o limite esquerdo é igual a -1. Podemos encontrar o valor da função para este valor de "x", assim, temos -1², que é 1, mais 1, que é igual a 2. Aí, a área será 2 vezes 1, que é 2. Agora nesse segundo intervalo, temos que extremidade à esquerda é "x" igual a zero. O valor da função será zero ao quadrado, mais 1, que é 1. 1 vezes 1 = 1. Agora, para esse terceiro retângulo, temos que a extremidade esquerda é em "x = 1". 1² é 1, mais 1, é 2, assim, a área será 1 vezes 2, que é 2. Então, aqui, temos uma situação, onde pegamos nossos pontos na extremidade esquerda de cada retângulo, onde a área total é igual a 2 + 1 + 2, que é igual a 5. Agora também podemos olhar os limites direitos de cada intervalo. Para este primeiro intervalo aqui, temos que a extremidade direita é em "x" igual a zero. A altura será zero ao quadrado, mais 1, que é 1. Então a área será 1 vezes 1, que é 1. O segundo retângulo, tem uma altura igual a a extremidade é em "x = 1", então, teremos a altura sendo igual a 1² + 1, que é igual a 2. A área é igual a 1 vezes 2, que é 2. Agora, para o terceiro retângulo, temos que a extremidade direita é 2, assim, a altura será 2² + 1, que é 5. Logo, a área é igual a 1 vezes 5, que é 5. Então, neste caso, quando olhamos para os nossos limites direitos de cada intervalo, temos que a área será igual a 1 + 2 + 5, que é 8. Olhando para isso, parece que estamos definitivamente lidando com algo que parece ser uma super aproximação. Um detalhe, é que quanto mais retângulos a gente tiver neste intervalo, que vai de "x = -1" a "x = 2", mais finos os retângulos serão e melhor será a nossa aproximação para a verdadeira área. Bem, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente conversou aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!