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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
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Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
Quando temos uma tabela de valores de uma função, podemos usá-la para encontrar uma soma de Riemann aproximada daquela função.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo minha ou amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver mais um
exemplo sobre a soma de Riemann. Este exemplo diz o seguinte: imagine que temos que aproximar
a área entre o eixo "x" e o gráfico de "f" de "x = 1''
a "x = 10'' usando uma soma de Riemann à direita
com 3 subdivisões iguais. Para isso, temos uma
tabela de valores para f". Eu gostaria que, neste momento,
você pausasse este vídeo e tentasse resolver isso
sozinho ou sozinha. Veja se você consegue encontrar
uma aproximação para a área entre o eixo "x" e f(x)
de "x = 1" até "x = 10". Tente fazer isso usando
a soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais. Vai lá, eu te espero aqui. Ok, eu estou considerando aqui
que você tentou, então, vamos fazer isso juntos agora. Uma coisa interessante sobre este exemplo, é que não temos informações
sobre toda a função, temos apenas o valor
da função em certos pontos. Mas como a gente vai ver, isto é tudo que precisamos para obter
uma aproximação para a área. Não sabemos qual é
exatamente o valor da área, mas com estes pontos, teremos
a capacidade de realizar uma aproximação utilizando a soma de Riemann à direita. Para começar, eu vou
fazer um gráfico aqui. A gente não precisa de um gráfico
para realizar a soma de Riemann, mas o gráfico nos ajuda a visualizar e pensar melhor em tudo
o que está acontecendo. Então vamos ver aqui. A gente está indo
de "x = 1" até "x = 10", então, vamos colocar esse
intervalo aqui no gráfico. Eu vou colocar aqui no eixo horizontal. Aqui na tabela, temos alguns
valores informados para f(x). Temos f(x) para "x = 1" ,
f(x) para "x = 4", f(x) para "x = 7"
e f(x) para "x = 10''. Eu vou colocar aqui também
os valores no eixo vertical, e eu vou marcar os pontos aqui agora. Quando "x" é 1,
temos 6, então, estamos aqui. Quando o "x = 4",
temos este ponto aqui, em que f(x) = 8. Para "x = 7",
temos este ponto aqui, o f(x) = 3. Agora, para "x = 10",
temos aqui f(x) = 5, então, o ponto está aqui. E isso é tudo o que
sabemos sobre a função, inclusive a gente nem sabe
exatamente como ela se parece. Nossa função pode
se parecer com isso aqui, pode fazer algo mais ou menos assim, ou, ela pode oscilar
muito rapidamente também, ou ainda, pode ter este formato,
meio que apenas ligando os pontos. Não sabemos como ela é. Mesmo assim, podemos
fazer uma aproximação usando a soma de Riemann à direita
com 3 subdivisões iguais. Então, como fazemos isso? Bem, estamos pensando aqui
sobre a área de "x = 1" até "x = 10", certo? Então vamos deixar
claro aqui esses limites. Aqui temos "x = 1"
e aqui temos ''x = 10". Queremos vamos fazer 3 subdivisões iguais, e aqui conseguimos fazer isso
de uma forma muito tranquila. Aqui, podemos ter uma subdivisão,
aqui uma outra subdivisão. Ah, quando você faz as somas de Riemann,
você não precisa ter subdivisões iguais, embora isso seja feito
com muita frequência. Ok, acabamos de dividir essa região entre 1 e 10 em 3 seções iguais
com 3 larguras iguais. A pergunta a ser feita que agora é: como definimos a altura dessas subdivisões para que a gente tem a retângulos a fim
de utilizar a soma de RIemann à direita? Se a gente estivesse fazendo
uma soma de Riemann à esquerda, a gente usaria o limite esquerdo
de cada uma das subdivisões e o valor da função nesse limite
para definir a altura do retângulo. Isso seria uma soma de Riemann à esquerda, mas estamos fazendo uma
soma de Riemann à direita, sendo assim, usamos o limite direito
de cada uma dessas subdivisões para definir a altura. O limite direito desta primeira
subdivisão é quando "x = 4", ou seja, para esta primeira subdivisão, temos a altura aqui em f(4), que é 8. Então, temos aqui a altura
do nosso primeiro retângulo, e isso nos dá uma aproximação para
a área desta parte aqui da curva. Da mesma, forma para
esta segunda subdivisão, como estamos usando
a soma de Riemann à direita, vamos usar o valor da função
no limite direito. O limite direito é 7. Sendo assim, temos o valor
da função sendo 3, e este é o nosso segundo retângulo, o que vai nos permitir aproximar
a área para esta região do gráfico. Por último, mas não menos importante, vemos o limite direito
desta terceira subdivisão, ou seja, quando "x = 10". Aí, temos que f(10) = 5, assim, teremos aqui
o nosso terceiro retângulo. Agora, para utilizar a soma
de Riemann à direita para encontrar uma
aproximação para a área, basta adicionar a área desses retângulos formados nessas 3 subdivisões. Mas para isso, precisamos calcular
a área de cada um desses 3 retângulos. Começando aqui pelo
primeiro retângulo, temos: qual é a largura deste retângulo? É 3, não é? E a altura? A altura aqui de f(4) é 8,
então, multiplicamos 3 com 8. Assim, temos que a área deste retângulo
vai ser igual a 24 unidades quadradas, sejam quais forem as unidades. Aqui no segundo, temos 3 vezes a altura,
que aqui é 3. f(7) é 3, não é? 3 vezes 3 é 9,
9 unidades quadradas. Agora aqui, temos 3 vezes
a altura deste terceiro retângulo, que neste caso é 5. f(10) é 5,
3 vezes 5 = 15. Agora, para encontrar
a aproximação da área basta somar esses 3 valores. Assim teremos, 24 + 9 + 15. 9 + 15 é 24, então,
temos 24 + 24, que é 48. Observe, que apenas utilizando
os valores da tabela a gente conseguiu chegar
a essa aproximação. Mas é importante perceber
que nós não sabemos o quão boa é a nossa aproximação, já que isso vai depender
do que a função está fazendo. Talvez, a função faça algo assim. Se ela estiver fazendo apenas isso, o que acabamos de fazer realmente
foi uma ótima aproximação. Porém, a função pode
estar fazendo isso aqui. Neste caso, a nossa aproximação
teria sido algo muito ruim, mas, pelo menos, a gente conseguiu
fazer uma aproximação usando uma soma de Riemann
à direita com os dados desta tabela aqui. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço e até a próxima!