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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
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Super e subestimação das somas de Riemann
Somas de Riemann são aproximações de área, portanto elas geralmente não são equivalentes à área exata. Às vezes, elas são maiores que a área exata (isso é chamado superestimação) e às vezes são menores (isso é chamado de subestimação).
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um
exemplo sobre as somas de Riemann. Este exemplo diz o seguinte: Considere as somas de Riemann
à esquerda e à direita que poderiam aproximar a área sob
"y = g(x)" entre "x = 2" e "x = 8". Queremos aproximar esta
área azul claro aqui. Essas aproximações são
superestimações ou subestimações? Bem, vamos pensar aqui
sobre cada uma delas. Primeiro, vamos considerar
aqui à esquerda. Eu só vou escrever esquerda
para economizar espaço aqui, ok? Mas eu estou falando sobre a soma
de Riemann à esquerda. O problema não disse quantas subdivisões
nossa aproximação precisa ter, então, cabe a nós decidirmos isso. Vamos dizer que optamos
em fazer 3 subdivisões, e que sejam subdivisões iguais. Não precisa ser assim, mas vamos dizer que decidimos por isso. A primeira vai de 2 até 4, a próxima vai de 4 até 6, e a terceira vai de 6 até 8. Se a gente fizer uma soma
de Riemann à esquerda, usamos o lado esquerdo de
cada uma dessas subdivisões para encontrar a altura. Você avalia a função na
extremidade esquerda de cada uma dessas subdivisões para encontrar a altura aproximada
de nossos retângulos. Usamos aqui g(2) para definir
a altura do nosso primeiro retângulo. Ou seja, a gente vem até aqui, aí usamos g(4)
para o próximo retângulo, então, é bem aqui. Por último, usamos g(6) para encontrar a altura do nosso
terceiro e último retângulo, ou seja, bem aqui. Agora, perceba que ao realizar um
somatório das áreas desses retângulos, fica claro que teremos algo
superestimado aqui, ou seja, a soma de Riemann
à esquerda será superestimada. Mas por que sabemos disso? Porque se a gente observar bem aqui, a gente percebe que a área que
estamos tentando aproximar está contida nos retângulos, e esses retângulos têm
essas áreas excedentes aqui. Então teremos uma área maior para a área que cada um deles
está tentando aproximar. Em geral, se você tem uma função que está estritamente diminuindo ao longo
do intervalo que nos interessa, como este aqui, que está
diminuindo o tempo todo, se você usar a borda esquerda
de cada subdivisão para aproximar, você vai ter uma soma superestimada, porque o valor da função na borda esquerda vai ser maior do que o valor
em qualquer um dos pontos na subdivisão. E é por isso que se esta
função está diminuindo, a soma de Riemann à esquerda está
realizando uma superestimação. Agora vamos pensar sobre
a soma de Riemann à direita? E você já percebeu que vai
ser o oposto, não é? Mas vamos visualizar isso? Vamos pegar as mesmas três subdivisões, mas agora vamos usar o lado direito de cada uma dessas subdivisões
para definir a altura. Para este primeiro retângulo aqui, a altura vai ser definida por g(4),
que está aqui. Já o segundo retângulo,
vai ser definido por g(6), que está bem aqui. E o terceiro vai ser definido por g(8). Vamos pintar isso aqui
para deixar mais claro sobre quais retângulos eu estou falando. É uma subestimação porque
vemos em cada um desses intervalos a soma de Riemann à direita, ou o retângulo que estamos usando
na soma de Riemann à direita, ser um subconjunto da área
que estamos tentando estimar. Nós não podemos capturar
esta área extra aqui. E, mais uma vez, isso ocorre porque temos uma função
que está estritamente decrescendo. Então, se você usar a extremidade
direita de qualquer um desses, ou o lado direito de qualquer uma dessas
subdivisões para definir a altura, aquele valor à direita de "g" será o menor valor de "g"
nessa subdivisão, então teremos uma altura menor do que a altura média do valor
da função nesse intervalo. Sendo assim, teremos uma
subestimação nesta situação. Agora, se a sua função estivesse
estritamente aumentando, essas duas coisas seriam trocadas. Mas claro, existem funções que não estão
estritamente aumentando ou diminuindo. Neste caso, isso aqui
dependeria da função. Em certos momentos, vai depender
até das subdivisões que você escolheu para saber se teremos uma
superestimação ou uma subestimação. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que vimos aqui e mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço e até a próxima!