Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver mais um exemplo da soma de Riemann. Este exemplo diz o seguinte: a função contínua "g" é mostrada no gráfico. Nós estamos interessados na área sob a curva entre "x = -7" e "x = 7'' e estamos considerando usar a soma de Riemann para aproximá-la. Este é o gráfico de "g" e esta região em azul é a área sob a curva que estamos interessados. Ordene as áreas da menor em cima até a maior embaixo. Bem, este é um exercício retirado da Khan Academy. Na verdade, eu fiz um "print" da tela. É esperado que você clique nessas opções e as arraste, a fim de ordená-las da forma que se pede. Como é uma captura de tela, em vez de arrastar, eu vou apenas escrever números e ordená-los do menor para o maior, onde 1 será a menor área e 3 será a maior, ok? Então sabendo disso, pause este vídeo tente pensar sobre isso. Qual dessas áreas é a menor, qual é a intermediária e qual é a maior? Para pensar nisso, vamos desenhar aqui as somas de Riemann, depois, ver como elas se parecem, e aí comparar cada uma delas com a área real sob a curva aqui. Podemos fazer um número arbitrário de subdivisões aqui, mas para este caso, o ideal é fazer o menor número possível, porque estamos apenas tentando ter uma noção geral das coisas. Além disso, ela nem precisa ser subdivisões iguais. Mas enfim, vamos fazer aqui, e que tal começar com a soma de Riemann à esquerda? Vamos começar aqui em "x = -7", e vamos até "x = 7". Vamos dizer que aqui esteja a nossa primeira subdivisão, que aqui esteja o nosso primeiro retângulo. Como é uma soma de Riemann à esquerda, vamos usar o valor da função na extremidade esquerda dessa subdivisão, que é 7 negativo, ou seja, "x = -7". E o valor da função em "x = -7" é igual a 12, então, este é o nosso primeiro retângulo. Você já deve ter percebido que isso vai ser uma área superestimada em relação à área real, não é? Agora, a próxima subdivisão começa aqui, e essa será a altura do nosso retângulo. Mais uma vez, não tem que ser subdivisões iguais. Muitas vezes são, mas eu estou mostrando subdivisões desiguais só para te mostrar que isso ainda é uma soma de Riemann válida. Perceba que, novamente, temos uma área superestimada em relação à área real que estamos tentando aproximar. A área real é menor que a área desse retângulo. Agora, a terceira subdivisão começa aqui em "x = 3", e como estamos usando a soma de Riemann à esquerda, usamos o valor da função em "x = 3" para definir a altura do retângulo. Novamente, temos uma área superestimada em relação à área real. Sendo assim, a soma de Riemann à esquerda é claramente superestimada, e está bem claro por que aqui. Esta função nunca aumenta, ou está diminuindo ou parece que fica horizontal em certos pontos. Para uma função assim, o limite esquerdo, o valor da função no limite esquerdo vai ser igual ou maior do que qualquer outro valor que a função assuma nesses intervalos que consideramos. Assim, ficamos com toda esta área extra e isso é a parte da superestimativa. Ou podemos simplesmente dizer que esta área é maior do que a área real que estamos tentando aproximar. Agora, vamos pensar na soma de Riemann à direita? Eu vou fazer subdivisões diferentes aqui, ok? Vamos dizer que a primeira subdivisão vá de 7 negativo até 5 negativo. Aqui vamos usar o limite direito para definir a altura. Portanto, g(-5), será aqui, perto de 9. Então este é o nosso primeiro retângulo. Nosso próximo retângulo pode ter o limite direito em zero. Então, a altura vai ficar bem aqui. Vamos fazer 4 retângulos? Sendo assim, a nossa terceira subdivisão pode vir até "x = 3", então, teremos altura deste retângulo bem aqui. E aí, para a nossa quarta subdivisão, temos que o limite será em ''x = 7". Estamos usando o limite direito de todas as subdivisões para definir a altura dos retângulos. Não se esqueça que estamos realizando a soma de Riemann à direita. Agora, para qualquer uma dessas subdivisões, nossos retângulos vão nos dar estimativas da área sob a curva. Repare que para este caso, todos os retângulos vão fornecer áreas subestimadas em relação à área real abaixo da curva, e isso se deve mais uma vez ao que acontece neste caso particular. A função nunca aumenta, ela está diminuindo ou permanecendo estável, então, se você usar o valor da função no limite direito, teremos um valor menor. O valor que a função assume em cada um desses limites que estão à direita nunca será maior que o valor que a função assume no resto da subdivisão. Sendo assim, sempre teremos algo subestimado. Estamos perdendo áreas. Toda essa área logo acima dos retângulos não está sendo incluída, portanto, a nossa soma de Riemann é uma subestimativa. Agora, para ordenar as opções da menor para a maior, podemos colocar a soma de Riemann à direita sendo a menor, porque temos uma subestimativa. Aí depois, temos a área real da curva, que é apenas a área da curva. Por último, tendo a maior área, temos a soma de Riemann à esquerda, que é uma soma superestimada. Então é isso aí meu amigo ou minha amiga. Eu espero que você tenha compreendido tudo o que a gente conversou aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!