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Cálculo Avançado BC

Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6

Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida
Matemática
Cálculo Avançado BC
Integração e acumulação de variação
Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida
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Integral definida como o limite de uma soma de Riemann

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Somas de Riemann nos ajudam a aproximar integrais definidas, mas também nos ajudam a defini-las formalmente. Aprenda como isso é feito e como podemos alternar entre a representação da área como uma integral definida e como uma soma de Riemann.
Integrais definidas representam a área sob a curva de uma função e as somas de Riemann nos ajudam a aproximar estas áreas. A questão permanece: existe alguma maneira de calcular o valor exato de uma integral definida?

Somas de Riemann com retângulos "infinitos"

Imagine que queiramos calcular a área sob o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared entre x, equals, 2 e x, equals, 6.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 1 até 8. O gráfico é uma curva suave. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo até um mínimo relativo em (0, 0), se move para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 2 e x = 6, está sombreada.
Usando a notação da integral definida, podemos representar a área exata:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
Podemos aproximar essa área usando as somas de Riemann. Seja R, left parenthesis, n, right parenthesis a aproximação da soma de Riemann à direita de nossa área usando n subdivisões iguais (ou seja, n retângulos de largura igual).
Por exemplo, esta é R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Você pode notar que a área real está superestimada.
O gráfico da função f tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos de largura 1. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
A área sob a curva de f entre x, equals, 2 e x, equals, 6 é aproximada usando 4 retângulos de largura igual.
Podemos melhorar nossa aproximação dividindo a área em mais retângulos com menor largura, isto é, usando R, left parenthesis, n, right parenthesis para valores maiores de n.
É possível ver como a aproximação se aproxima mais da área real à medida que o número de retângulos vai de 1 para 100:
O gráfico de função f é animado. A região sombreada é dividida em cada vez mais retângulos de largura igual, de 1 a 100. As áreas tornam-se menores, de R de 1 = aproximadamente 28,8 a R de 100 = aproximadamente 13,99.
Criado com Geogebra.
Evidentemente, ao usarmos cada vez mais retângulos, vamos nos aproximar ainda mais, mas uma aproximação sempre será apenas uma aproximação.
E se pudéssemos ter uma soma de Riemann com infinitas subdivisões iguais? Isto é possível? Não podemos definir n, equals, infinity, pois o infinito não é um número real, mas talvez você se lembre de que podemos tender algo ao infinito...
Limites!
Especificamente, este limite:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
Fato incrível 1: este limite realmente nos dá o valor exato de integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Fato incrível 2: não faz diferença usar o limite de uma soma de Riemann à direita, de uma soma de Riemann à esquerda, ou de qualquer outra aproximação comum. No infinito, sempre teremos o valor exato da integral definida.
(A prova rigorosa destes fatos é demasiadamente elaborada para ser abordada neste artigo, mas isso não é um problema, pois estamos interessados apenas no raciocínio por trás da conexão entre somas de Riemann e integrais definidas).
Até o momento, usamos R, left parenthesis, n, right parenthesis como um substituto da aproximação da soma de Riemann à direita com n subdivisões. Agora, vamos encontrar a expressão real.
Revisão rápida: buscamos start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, a start color #1fab54, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end color #1fab54 constante de qualquer retângulo, e start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, o valor de x da extremidade direita do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo. Então, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 nos dará a start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo.
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
Portanto, a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo é start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10, e somamos isso para valores de i de 1 a n:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
Agora, podemos representar a área real como um limite:
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

Por definição, a integral definida é o limite da soma de Riemann

O exemplo acima é um caso específico da definição geral de integrais definidas:
A integral definida de uma função contínua f sobre o intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket, expressa por integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, é o limite de uma soma de Riemann conforme o número de subdivisões se aproxima do infinito. Ou seja,
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
em que start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction e start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

Se tivermos que escrever uma soma de Riemann a partir de uma integral definida...

Imagine que tenhamos que escrever a seguinte integral definida como o limite de uma soma de Riemann.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Primeiramente, vamos calcular start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
Agora que temos start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, podemos calcular start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
Portanto,
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

Pratique escrever somas de Riemann a partir de integrais definidas

Problema 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Problema 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Erro comum: chegar a uma expressão errada para delta, x

Por exemplo, no problema 2, podemos imaginar que um aluno talvez defina delta, x como start fraction, e, divided by, n, end fraction ou start fraction, 1, divided by, n, end fraction, em vez de start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Outro exemplo é simplesmente usar d, x para delta, x. Lembre-se de que d, x é usada apenas na notação da integral, e não na soma. Ela nos diz que a integração está relacionada a x.

Outro erro comum: chegar a uma expressão errada para x, start subscript, i, end subscript

Um aluno pode esquecer de somar a a delta, x, dot, i, o que resultará em uma expressão errada. Por exemplo, no problema 2, um aluno talvez defina x, start subscript, i, end subscript como sendo start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i, em vez de 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.

Se tivermos que escrever uma integral definida a partir do limite de uma soma de Riemann...

Imagine que tenhamos que encontrar uma integral definida equivalente a este limite:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
Isso significa que temos que encontrar o intervalo de integração open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket e a start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10 integrando. Então, a integral definida correspondente será integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Sabemos que toda soma de Riemann tem duas partes: a largura start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 e a altura start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 de cada retângulo da soma. Olhando este limite específico, podemos fazer escolhas razoáveis para as duas partes.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
Retângulos de largura uniforme: a expressão start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 é uma escolha razoável para a largura de nossos retângulos, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, pois ela não depende do índice i. Isto significa que start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 será igual para todos os termos da soma, que é o que esperaríamos de uma soma de Riemann na qual todos os retângulos têm a mesma largura.
Retângulos de altura variável: a expressão start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 depende de i, o que a torna uma boa escolha para representar a altura, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. A escolha mais natural para start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd é start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, portanto vamos desenvolver isso, o que significa que estamos integrando a função start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
Para determinar os limites de integração, a e b, vamos retornar às definições gerais de start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 e start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd em relação à integral definida.
Como definido acima, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. Neste problema em específico, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, que pode ser escrito como start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, portanto start color #aa87ff, a, end color #aa87ff deve ser igual a start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Como definido acima, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. Neste problema em específico, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. Os dois denominadores são n, então os numeradores devem ser iguais a: b, minus, a, equals, 5. Já sabemos que start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, então podemos concluir que start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Ao juntarmos todas essas informações, chegamos a esta integral definida que é igual ao limite da soma de Riemann:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

Pratique escrever integrais definidas a partir de somas de Riemann

Problema 3.A
  • Atual
O conjunto de problemas 3 o guiará pelas etapas do cálculo da integral definida representada por esta expressão:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
Qual é o delta, x nesta expressão?
Escolha 1 resposta:

Dificuldade comum: encontrar o delta, x na expressão da soma de Riemann

Quando a expressão somada é complexa e inclui diversas frações, pode ser difícil identificar qual parte dela é o delta, x.
Lembre-se de que o delta, x deve ser um fator da expressão somada, na forma start fraction, k, divided by, n, end fraction, em que k não contém o índice i do somatório.

Outra dificuldade comum: encontrar os limites de integração

Observe como, no conjunto de problemas 3, o fato de delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction nos informou que b, minus, a, equals, 4. Isso é útil, mas sem determinar a não saberemos quais são a e b. Podemos determinar a usando o fato de que x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
Um erro comum é assumir imediatamente que se, por exemplo, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, então os limites de integração serão open bracket, 0, comma, 4, close bracket.

Uma última dificuldade comum: dificuldade geral de análise da expressão

Alguns alunos simplesmente não sabem por onde começar.
Comece com a expressão somada. Você deve ser capaz de identificar dois fatores: um na forma start fraction, k, divided by, n, end fraction (em que k não contém o índice i do somatório) e outro que é uma função de i. O primeiro lhe dará start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 e o outro, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Problema 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

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