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Notação de somatório

Podemos descrever somas com múltiplos termos usando o operador sigma, Σ. Aprenda como calcular somas escritas dessa forma.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa em uma única expressão.

Desvendando o significado da notação de somatório

Este é o símbolo sigma: sum. Ele nos diz que nós estão somando algo.
Vamos começar com um exemplo básico:
Parar em n=3(inclusive)n=132n1Expressa˜o para cadaComeça em n=1termo do somatoˊrio\begin{aligned} \scriptsize\text{Parar em }n=3& \\ \scriptsize\text{(inclusive)} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{Expressão para cada} \\ \scriptsize\text{Começa em }n=1&\qquad\scriptsize\text{termo do somatório} \end{aligned}
Este é um somatório da expressão 2, n, minus, 1 para valores inteiros de n de 1 a 3:
=n=132n1=[2(1)1]n=1+[2(2)1]n=2+[2(3)1]n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{[2(\goldD 1)-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2(\goldD 2)-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2(\goldD 3)-1]}_{\goldD{n=3}} \\\\ &=1+3+5 \\\\ &=9 \end{aligned}
Observe como substituímos start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 e start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 em 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 e somamos os termos resultantes.
n é nosso índice do somatório. Quando avaliamos uma expressão de somatório, substituímos valores diferentes no nosso índice.
Problema 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Podemos começar e terminar a soma em qualquer valor de n. Por exemplo, esta soma toma valores inteiros de n desde 4 a 6:
=n=46n1=(41)n=4+(51)n=5+(61)n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}} \\\\ &=3+4+5 \\\\ &=12 \end{aligned}
Podemos usar qualquer letra que quisermos para nosso índice. Por exemplo, esta expressão tem i como índice:
=i=023i5=[3(0) ⁣ ⁣5]i=0+[3(1) ⁣ ⁣5]i=1+[3(2) ⁣ ⁣5]i=2=5+(2)+1=6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5 \\\\ &=\underbrace{[3(\goldD 0)\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3(\goldD 1)\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3(\goldD 2)\!-\!5]}_{\goldD{i=2}} \\\\ &=-5+(-2)+1 \\\\ &=-6 \end{aligned}
Problema 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Considere a soma 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Qual expressão é igual à soma acima?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Algumas expressões de somatório tem outras variáveis além do índice. Considere esta soma:
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
Observe que nosso índice é n, não k. Isto significa que podemos substituir os valores em n, e k permanece desconhecido:
=n=13kn+1=k(1)+1+k(2)+1+k(3)+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1} \\\\ &= \dfrac{k}{(\goldD 1)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 2)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 3)+1} \\\\ &= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
O que é importante lembrar: antes de avaliar uma soma na notação de somatório, sempre tenha certeza de que você identificou o índice e que está substituindo apenas o índice. Outras incógnitas devem permanecer como são.
Problema 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

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