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Somas de Riemann em notação de somatório

Generalizando a técnica de aproximar a área sob uma curva com retângulos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - No vídeo anterior, tentamos calcular a área sob uma curva construindo 4 retângulos de larguras iguais. Nós usamos o limite esquerdo de cada retângulo para determinar a sua altura a partir da função e calcular a área, aproximar a área sob a curva. O que pretendo, neste vídeo, é fazer uma generalização dessa ideia para usar em uma função qualquer com limites quaisquer. Vamos começar representando graficamente aqui. Temos aqui os eixos "x" e "y", vou desenhar um gráfico de uma certa função qualquer. Digamos que sua representação se pareça com algo assim. Vamos definir aqui dois limites quaisquer. Digamos que aqui eu tenha "x = a" e aqui, "x = b". Eu vou agora usar "n" retângulos e vou usar o valor da função no limite esquerdo de cada retângulo para determinar a sua altura. Por exemplo, aqui quando "x" é "a", a altura deste retângulo vai ser f(a). Então, aqui no retângulo número 1, a altura é f(a), vou desenhá-lo. Aqui está o retângulo número 1, vou até enumerá-lo aqui. Vamos agora criar uma convenção para facilitar. Digamos que o "a" é chamado agora de x₀. O limite final do primeiro retângulo, que passa a ser o inicial do segundo retângulo, vai ser o valor x₁. Se calcularmos o valor f(x₁) vamos ter o valor bem aqui, f(x₁) determinando a altura do segundo retângulo. Temos aqui o retângulo número 2, que usaremos para aproximar a área sob a curva da função. Aqui, o limite do segundo retângulo é o x₂, que é onde começa o terceiro retângulo, e a altura dele vai ser o f(x₂). Temos aqui então, o retângulo número 3, todos os retângulos com a mesma largura, e a ideia é continuar este mesmo processo até chegar ao retângulo número "n". Agora, como vamos indicar este valor bem aqui? Verificamos um certo padrão. O limite esquerdo do primeiro retângulo é o x₀. O limite esquerdo do segundo retângulo é x₁, o limite esquerdo do terceiro retângulo é x₂. Então, o limite esquerdo do enésimo retângulo vai ser "x" com índice "n - 1". Você deve ter percebido facilmente que para um certo retângulo, o limite esquerdo dele é o "x" com índice uma unidade menor do que o número daquele retângulo, e isso é baseado na convenção que definimos inicialmente. Você pode definir de outra forma. Avançando mais um pouco, o que nós queremos é calcular toda esta área. E como é que nós vamos proceder para definir a largura de cada retângulo? Vamos determinar que a largura dos retângulos é sempre a mesma, é constante, e vamos indicá-la por Δx. Nós poderíamos assumir retângulos com larguras diferentes umas das outras, mas tornaria o problema desnecessariamente difícil. E essa largura Δx é exatamente a largura total que nós temos na soma de todos os retângulos. Que tamanho é esse? "d - a". E dividir pela quantidade de retângulos, que é justamente ''n", ou seja, "b - a", que é a largura total, dividida por "n" retângulos, nos dá a largura de um retângulo só, que é o que indicamos como Δx. Sabendo que isto é verdadeiro e entendendo que o "a = x₀", "x₁ = x₀ + Δx". O x₂ é o x₁ + Δx, e assim por diante, até xₙ, que é igual a xₙ₋₁ + Δx. E ainda sabendo que "b" é igual ao próprio xₙ, chegamos então a todas as notações, a todos os símbolos que precisamos para calcular o valor aproximado da área sob a curva desta função. A área total aproximada sob a curva vai ser a área do retângulo 1, mais a área do retângulo 2, mais a área do retângulo 3, assim por diante, até a área do retângulo "n". A área do primeiro retângulo vai ser a altura dele, que é o f(x₀) vezes o Δx. Poderia ser f(x₀) ou f(a), mas vamos usar a nossa convenção. Para o retângulo 2, a altura é f(x₁) vezes a largura, Δx também. Do mesmo modo, para o retângulo 3, a área vai ser o f(x₂) vezes o Δx. E assim vamos seguindo até o retângulo "n". A área do retângulo "n" vai ser o f(xₙ₋₁), que é o que determina a sua altura, vezes o Δx, que é a sua largura. E assim, escrevemos, de uma maneira bem geral, a área aproximada sob a curva daquela função. Como aqui temos uma somatória de parcelas que obedecem a um certo padrão, eu vou aproveitar para usar uma notação que com certeza você vai encontrar mais frequentemente, que é a notação "Σ" para a somatória. Temos aqui a somatória com "i" indo de 1 até "n", vamos entender que 1 indica o retângulo 1 até o "n", que é o enésimo retângulo, e os termos que vamos usar nesta somatória são a área de cada retângulo. Então, pegamos a altura de cada retângulo, que é o f(xᵢ₋₁), porque lembre-se que o índice do "x" que indica a altura de cada retângulo é uma unidade menor que o número do próprio retângulo, e isso vezes o Δx. Então, o que temos aqui é uma somatória que dá a área aproximada sob a curva que representa uma função pelo limite esquerdo, ou seja, a altura de cada retângulo é definida pelo valor da função no "x" que está no limite à esquerda deste retângulo. Aproveitando para representar um retângulo qualquer com o índice "i", temos aqui, vou desenhar o retângulo "i". O limite esquerdo dele é o xᵢ₋₁ e a altura dele, portanto, definida pelo f(xᵢ₋₁). Ou seja, estamos tomando esta altura vezes a largura Δx de cada retângulo e somando todas, e isso nos dá a área aproximada sob o gráfico desta função. Observe que o que estamos fazendo aqui não é nada além do que já fizemos no vídeo anterior, mas, agora, de uma maneira muito mais generalizada. Até o próximo vídeo!