Exemplo prático: reescrevendo uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos reescrever uma integral definida como limite da soma de he-man sendo assim vamos dizer que eu queira calcular a integral definida com os limites de integração e o DPA 2 pi do cosseno de x DX o que eu quero fazer é escrever isso como limite com ele tendendo ao infinito de uma soma de he-man Então vamos assumir a forma de um limite ou com m tendendo ao infinito aí colocamos anotação sigmac e vamos dizer que vamos realizar essa soma indo de igual a um até um determinado n eu vou desenhar aqui embaixo que realmente está acontecendo para que a gente possa ter uma noção melhor do que vamos escrever dentro da notação Sigma eu vou colocar um pia aqui aqui eu vou colocar um 3pi sobre 2 e aqui eu vou colocar 12 p agora deixa eu te perguntar como que é o gráfico do cosseno de x o INPI o cosseno de Pi é um negativo Então temos aqui o um negativo já o cosseno de 2pi é um então ele fica aqui sendo assim o gráfico vai fazer algo assim e claro Isso é apenas uma versão desenhada à mão livre mas você já viu funções coçando antes não é então sabe que isso é apenas uma parte do gráfico e essa parte representa o nosso intervalo de integração com isso sabemos que a integral definida Vai representar a área entre a curva e o eixo X que vai de Pi A2 como você pode observar essa área ou essa parte da integral definida vai ser negativa e essa parte vai ser positiva com isso uma acabar cancelando a outra E aí temos um resultado que vai ser igual a zero porém o que queremos fazer nesse vídeo é reescrever isso como um limite com ele tendendo ao infinito de uma soma de he-man em uma soma de he-man o que queremos fazer é pensar em dividir isso aqui em vários retângulos sendo assim vamos dizer que temos o número de retângulos aqui o primeiro vai estar aqui E esse pode ser o nosso segundo vamos fazer a soma de he-man a direita onde o limite direito do nosso retângulo vai ser o valor da função nesse ponto e é isso que vai definir a altura Então esse é o nosso segundo e seguindo tudo caminho até seu ponto bem aqui teremos o nosso enésimo aqui vamos escrever isso aqui esse aí sendo igual a um esse é isso é igual a 2 E aí fazemos isso por todo o caminho até = n se a gente pegar o limite com ele tendendo ao infinito a soma das áreas desses retângulos vai ficar cada vez melhor sabendo disso vamos inicialmente pensar sobre qual vai ser a largura de cada um desses retângulos bem eu estou observando aqui no intervalo que vai de pia dos sendo assim eu posso dividir isso em em intervalos iguais ou seja a largura de cada um desses retângulos vai ser dois pe - eu estou apenas pegando a diferença entre os meus limites de integração e aí eu divido isso porém se você já temos que a largura de cada retângulo será Pio sobre n isso é piso sobre n e os apps sobre n e o seu é piu sobre ele agora qual é a altura de cada um desses retângulos lembre-se de que essa é uma soma de he-man a direita então é a extremidade direita do nosso retângulo que vai definir a altura sabendo disso Qual é a altura de isso aqui bem essa altura vai ser igual a fdq bem aqui temos pia mais o comprimento do nosso intervalo bem aqui ou seja mas a base do nosso retângulo começamos em Pires então terapia mas sobre N E aí podemos multiplicar isso com um e essa é a altura que temos aqui e aqui o que está acontecendo bem aqui teremos FD pe que é o nosso início mas Pinho sobre n vezes alguma coisa mas que coisa teremos aqui piu sobre ele vezes dois portanto a forma geral do limite a direita vai ser por exemplo essa altura qfd pirc nós estamos mais como estamos fazendo uma soma de rima EA direita adicionamos aecipp e o sobre n Any vezes por isso que temos aqui pelo sobre nvzn ou seja se a gente quiser escrever isso aqui de uma forma geral estamos falando sobre o i-ésimo retângulo Vamos colocar o que aqui no somatório aqui e colocamos altura que vai ser a função f que é o cosseno de Pi mais se estamos falando do i-ésimo retângulo vamos adicionar aecipp e o sobre n vezes é a altura de cada um dos nossos retangulos aí devemos multiplicar isso com a largura que nesse caso vai ser o que bem nós já descobrimos isso a largura ep sobre ele e aqui está acabamos de rede expressar essa integral definida como limite de uma soma de he-man direita Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima