Integral definida como o limite de uma soma de Riemann

RKA2G - Nós já vimos muitos vídeos nos quais nós nos aproximávamos da área abaixo da curva dividindo aquela área em retângulos e, então, achando a soma das áreas desses retângulos com uma espécie de aproximação. Este foi, na verdade, o primeiro exemplo que nós vimos onde cada retângulo tinha a mesma largura. Nós dividimos igualmente o intervalo entre os dois limites, entre "a" e "b", e a altura do retângulo, que era a função calculada na ponta esquerda de cada retângulo. Nós conseguimos generalizar e escrever isso na notação de sigma, ou seja, na notação do somatório, e ficou algo parecido com isto aqui. Mais tarde, nós vimos uma situação onde definimos a altura pelo valor da função na ponta direita ou no meio. Então, nós até construirmos trapezoides. Enfim, esses são todos exemplos particulares das somas de Riemann. Bem, isto é a soma de Riemann. Quando falamos das somas de Riemann, estamos falando de uma noção mais geral. Mas você não tem que agir desta forma, você poderia usar trapezoides. Você nem precisaria ter partições igualmente espaçadas. Eu usei partições igualmente espaçadas porque isso tornou as coisas mais simples conceitualmente. Esta é a foto da pessoa que deu nome às curvas de Riemann. Este é Bernard Riemann e ele fez muitas contribuições à matemática. Mas ele é muito mais conhecido (pelo menos se você estiver fazendo o primeiro ano de um curso de cálculo) é pela soma de Riemann. Mas como ela é usada para definir a integral de Riemann? Tanto Newton quanto Leibniz desenvolveram a ideia da integral quando formularam seus cálculos. Mas é a integral de Riemann que é a maneira mais formal ou, como eu diria, uma definição mais rigorosa do que é uma integral. Então, como vocês podem imaginar, este é um exemplo da soma de Riemann. Nós temos "n" bem aqui. Quanto maior for "n", melhor vai ser a aproximação. Então, a sua definição de uma integral, que é a área existente abaixo da curva, ou sua definição de uma integral definida, que é a área existente abaixo da curva entre os pontos "a" e "b", consiste em fazer essa soma de Riemann. Não tem que ser esta aqui, faça qualquer soma de Riemann. E tome o limite quando "n" se aproxima do infinito. Para ser um pouco mais claro, o que acontece quando "n" tende ao infinito? Vou escrever outro diagrama aqui. Vamos dizer que este aqui seja o eixo "y" e este o eixo "x". Esta aqui é a função. Quando "n" se aproxima do infinito, isto aqui é "a" e isto é "b", você vai ter uma porção enorme de retângulos. Você vai ter uma porção de retângulos bem ali. E eles vão se tornando, cada vez mais, aproximações melhores da área real. A área real abaixo da curva é definida como sendo a integral, indo de "a" até "b", de f(x) dx. Assim, você consegue ver de onde vem tudo isso e como estas notações são parecidas. Ou, ao menos na minha opinião, como elas estão conectadas. Δx era a largura de cada uma destas seções. Isto aqui é o Δx. Isto é Δx. Isto é outro Δx. Isto aqui é outro Δx. Uma forma muito razoável de se conceituar dx, ou o que é uma diferencial, é que ela se aproxima de Δx quando ele se torna infinitamente pequeno. Então, você pode conceituar isto. E não é uma forma muito rigorosa de se pensar a respeito. Ou seja, dx é um Δx infinitamente pequeno. Mas não é zero: é infinitamente pequeno. Conseguiu entender essa ideia? Novamente: você tenha aqui a função vezes uma pequena mudança em Δx. E você está somando um número infinito de coisas entre "a" e "b". Eu vou deixar esta coisa aqui para que você veja a conexão. Mas você sabe o nome dessas coisas? Bem, isto não é apenas a soma de Riemann. De fato, isto é muitas vezes chamado de a soma de Riemann esquerda, se você está usando com retângulos. Agora, você pode fazer uma soma de Riemann direita. Poderia, ainda, usar o ponto médio. Você poderia usar um trapezoide. Mas se você tomar o limite de qualquer uma destas somas, quando "n" tende ao infinito, você vai chegar à definição da integral de Riemann. No entanto, até agora nós não falamos sobre como realmente calcular isso, principalmente porque isto é apenas uma definição. Mas nós vamos fazer isso nos vídeos futuros.