Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre como reescrever um limite da soma de he-man como uma integral definida para fazer isso Observe aqui que temos uma soma de he-man e estamos querendo tomar o limite dessa soma com ele tendendo ao infinito o objetivo desse vídeo é ver se conseguimos reescrever isso como uma integral definida eu encorajo você a pausar esse vídeo e vê se você consegue fazer isso sozinho ou sozinha e aí fez vamos fazer isso juntos agora bem vamos nos lembrar aqui como uma integral definida pode ser reescrita em uma soma de he-man se eu tenho uma integral definida com os limites de integração e do di até b d f de x DX nós já vimos em outros vídeos que isso vai ser igual ao limite com ele tendendo ao infinito que o somatório indo de igual a 1 um determinado n basicamente o que vamos fazer é só amar vários retângulos onde a largura de cada retângulo pode ser escrita como um Delta X é então a largura vai ser um Delta x de cada um desses retângulos e altura vai ser o valor da função avaliado em algum lugar naquele Delta x se a gente tiver fazendo uma soma de he-man a direita vamos pegar o fim do retângulo ou do sub intervalo assim começamos com nosso limite inferior a E aí adicionamos a ele tão outros Delta x conforme o nosso indice vai indicar por exemplo se eu pegar um vamos adicionar apenas um Delta x Assim estaremos à direita do nosso primeiro retângulo se eu for igual a dois somamos dois Delta x ou seja isso vai ser Delta x vezes o nosso indice sendo assim essa é a forma geral que vimos antes assim uma possibilidade que temos para resolver nosso problema aqui é fazer uma correspondência de padrões bem aqui Observe que a nossa função a função do log natural Então a nossa função f de x é a função de log natural podemos escrever isso aqui a função f de x = logaritmo natural de X o que mais a gente vê aqui bem aparece ser dois a = 2 qual é o nosso Delta x bem você pode ver isso aqui essa coisa que estamos multiplicando que apenas é dividido por n e que não está sendo X um isso se parece com o nosso Delta x e isso bem aqui parece ser o delta X então parece que o nosso Delta X é realmente igual a 5 sobre n ok O que podemos dizer até agora também podemos dizer que essa coisa que em cima essa expressão original mas ser igual a integral definida sabemos que os nossos limites de integração vai de 2 até alguma coisa a gente não descobriu o limite superior ainda não descobrimos o nosso bem ainda mas a nossa função é o log natural de X aí depois eu vou escrever um DX aqui para a vida dessa integral definida eu preciso ser capaz de escrever o limite superior EA maneira de descobrir o limite superior é olhando para o nosso Delta x principalmente porque a maneira de descobriram Delta X para essa soma de he-man aqui é dizer que Delta x é igual a diferença entre os nossos limites divididos por quantas sessões Queremos dividir os ou seja dividimos por n sendo assim temos que Delta x = b - a sobre ele assim podemos combinar o padrão aqui se der outra x = b - ar sobre ele é então isso aqui vai ser igual AB - o nosso ar que é dois tudo isso sobre ele Então temos que beber - 2 = 5 o que faria o nosso B ser igual a 7 sendo assim P = 7 então aí está nós temos o nosso limite original nosso limite de he-man ou o nosso limite da soma de he-man sendo reescrito como uma integral definida às vezes eu quero enfatizar porque isso faz sentido se a gente quiser desenhar isso a gente pode fazer isso mais ou menos desse jeito eu vou tentar desenhar à mão livre aqui a função de log natural parece ser algo mais ou menos assim aqui o nós vamos ter um aqui o 2 e aí a gente continua seguindo até chegar ao 7 a nossa integral definida está preocupada com a área entre a curva e o eixo X entre 2 e 17 dessa forma você pode ver essa soma de he-man A gente pode observar aqui rapidamente essa representação gráfica dessa soma de rima por exemplo o que podemos dizer quando a gente tiver em um em um o primeiro retângulo vai ter uma largura igual a 5 sobre ele então isso essencialmente dizer que estamos pegando a nossa diferença entre dois e sete que é cinco e aí dividindo isso em ele retângulos assim esse primeiro retângulo vai ter uma largura de cinco sobre N E qual vai ser a altura tem uma soma de he-man a direita então estamos usando o valor da função nesse. um retângulo podemos então escrever aqui mais cinco sobre n esse valor bem aqui vai ser então o log natural de dois mais cinco sobre n e como esse é o primeiro retângulo multiplicamos isso aqui por um agora podemos continuar esse retângulo bem aqui tem a mesma largura ou seja cinco sobre n Mas qual é a altura bem altura vai ser igual ao log natural de dois mais cinco sobre n vezes dois isso porque e = 2 esse aqui é igual a um pega eu espero que você esteja vindo Porque isso faz sentido área desse primeiro retângulo vai ser o logaritmo natural de dois mais cinco sobre n vezes um vezes cinco sobre n e o segundo aqui vai ser o log natural de dois mais cinco sobre ele vezes 2 vezes cinco sobre n sendo assim isso está calculando a soma das áreas desses retângulos mas Estamos pegando o limite com ele tendendo ao infinito devido a isso estamos obtendo a a cada vez melhores para encontrar o valor da área exata bem Eu espero que você tenha compreendido tudo isso que vimos até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima