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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 5: Como interpretar o comportamento de funções de acumulação envolvendo áreaInterpretação do comportamento de funções de acumulação
Podemos aplicar um "raciocínio baseado em cálculo" para justificar propriedades da primitiva de uma função usando nossos conhecimentos sobre a função original.
Em cálculo diferencial, nós deduzimos as propriedades da função f com base nas informações dadas sobre sua derivada f, prime. Em cálculo integral, em vez de falarmos de funções e suas derivadas, falaremos sobre funções e suas primitivas.
Dedução das propriedades de g a partir do gráfico de g, prime, equals, f
Este é gráfico da função f.
Seja g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Definida assim, g é uma primitiva de f. Em cálculo diferencial nós devemos escrever isso como g, prime, equals, f. Como f é a derivada de g, nós podemos deduzir as propriedades de g da mesma maneira que fizemos no cálculo diferencial.
Por exemplo, f é positiva no intervalo open bracket, 0, comma, 10, close bracket, então g deve ser crescente nesse intervalo.
Além disso, f muda de sinal em x, equals, 10, então g deve ter um ponto de extremo ali. Como f vai de positiva para negativa, esse ponto tem que ser um ponto máximo.
Os exemplos acima nos mostram como nós podemos pensar sobre intervalos nos quais g é crescente ou decrescente e sobre seus extremos relativos. Nós também podemos pensar sobre a concavidade de g. Uma vez que f é crescente no intervalo open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, sabemos que g é côncava para cima nesse intervalo. E como f é decrescente no intervalo open bracket, 5, comma, 13, close bracket, sabemos que g é côncava para baixo nesse intervalo. g muda de concavidade em x, equals, 5, e portanto, tem uma inflexão nesse ponto.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
É importante não confundir quais propriedades da função estão relacionadas a quais propriedades da sua primitiva. Muitos estudantes se confundem e fazem todo o tipo de inferências erradas, como dizer que uma primitiva é positiva porque a função é crescente (quando na verdade, é o contrário).
Essa tabela resume todas as relações entre as propriedades de uma função e sua primitiva.
Quando a funcão f é... | A primitiva g, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t é... |
---|---|
Positiva plus | Crescente \nearrow |
Negativa minus | Decrescente \searrow |
Crescente \nearrow | Côncava para cima \cup |
Decrescente \searrow | Côncave para baixo \cap |
Muda de sinal / cruza o eixo x | Ponto de extremo |
Ponto de extremo | Ponto de inflexão |
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