Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites

RKA4JL - Vamos ver se podemos encontrar a derivada dessa expressão bem aqui, se podemos encontrar a função de f'(x). Novamente parece que será possível usar o teorema fundamental do cálculo. Uma grande dica é que você está calculando a derivada de uma integral definida que lhe dá uma função de x, mas aqui eu tenho x nos limites superior e inferior e o teorema fundamental do cálculo é, pelo menos pelo que nós já vimos, quando nós temos x apenas no limite superior. E então, claro, é 1x², mas já vimos exemplos disso quando usamos a regra da cadeia. Como podemos deixar isso parecido com o que estamos familiarizados para aplicar o teorema fundamental do cálculo? Para perceber isso, nós apenas precisamos tentar fazer um gráfico do que isso representa. Então vamos dizer que esta é a nossa letra minúscula f(x), ou deveria dizer f(t). Então vamos escrever isso aqui. Vamos representá-lo através do intervalo entre x e x². Digamos que esse é o meu eixo y e este é meu eixo t e digamos que isso bem aqui é y igual a f(t). Eu estou dizendo isso de uma forma geral porque não sei como isso se parece. Nós vamos falar sobre o intervalo entre x e x². Se vamos falar sobre intervalo entre x, o qual está bem aqui no limite inferior, e x², sobre o limite inferior para a integral definida nós não temos certeza, depende do x a escolher e qual deles é o menor, mas vamos dizer que, pelo bem da visualização, vamos redesenhar x bem aqui e desenhar x² bem aqui. Então toda essa expressão, toda essa integral definida, está essencialmente representando toda essa área abaixo da curva. Mas o que nós podemos fazer é introduzir uma constante que está em algum lugar entre x e x². Digamos que a constante é c e vai dividir essa área em duas áreas diferentes. Então toda essa mesma área pode ser reescrita como duas integrais separadas. Uma integral que representa essa área, bem aqui, e outra integral que representa essa área bem aqui. Como nós falamos, c é alguma constante entre x e x². E como nós podemos achar essas áreas? A área total vai ser a soma dessas duas áreas. Então vamos lá. A área roxa nós podemos demonstrar como a integral definida de x até c de nossa função, que é (cos t sobre t) dt. Vamos adicionar a área em verde para termos a área original. Então na área em verde, o nosso limite inferior, é c, e nosso limite superior é x² de (cos t sobre t) dt. Essa é forma onde, se soubermos aplicar a regra da cadeia, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo. Estamos acostumados a ver isso onde x é o limite superior. Nós já sabemos o que acontece. Podemos trocar esses limites, mas isso seria a negativa dessa integral. Então isso será igual à negativa da integral definida de c para x do (cos t sobre t) dt e temos mais a integral definida que vai de c até x² de (cos t sobre t) dt. Então tudo o que fizemos foi reescrever isso do modo como estamos acostumados a aplicar o teorema fundamental do cálculo. Então se queremos encontrar a função é f'(x), aplicando o operador derivativo bem aqui, nós teremos um negativo na frente. Será igual a negativo, cos x sobre x (novamente, apenas o teorema fundamental do cálculo) e então, em adição, primeiro vamos pegar a derivada disso relacionada a x², e isso nos dará cos (x²) sobre x². Sempre que vir um "t", você substitui por 1x² e vai multiplicar isso pela derivada de x², relacionando com x. Isso será apenas a derivada de x² em relação a x, que é apenas 2x. Agora só precisamos simplificar isso. Então tudo será igual a (-cos x sobre x) mais... Isso aqui se cancela com isso, então mais 2 cos (x²) sobre x e acho que poderíamos simplificar mais ainda, então, sendo igual... Nós podemos substituir tudo, sobre x, de 2 cos (x²) menos cos x. E acabamos.