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Integração de uma versão em escala da função

Neste vídeo, usamos um gráfico para explicar por que podemos tirar uma constante de dentro de uma integral definida. 

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos ver o que acontece com a integral de uma função quando a multiplicamos por algum escalar. Para isso, vamos começar olhando de novo para esse gráfico. Provavelmente você já deve estar cansado de saber que essa aqui é a área entre essa curva e a parte de cima do eixo x entre x igual a “a” e x igual a “b”. Nós podemos representar essa área por essa integral aqui, ou seja, a integral de “a” até “b” de f(x) dx. Isso nós já vimos bastante em aulas passadas, não é? Mas o que acontece com a área dessa função se a multiplicarmos por uma constante “c”? Ou seja, digamos que agora y seja igual a “c” vezes f(x) e isso significa que agora f(x) está escalonada, ou seja, nós estamos multiplicando por um escalar. Por exemplo, vamos dizer que esse “c” seja 3. Com isso, a versão escalonada dessa função vai ser três vezes maior. Assim, esse pedaço vai ser três vezes maior, então um, dois e três aqui. Em vez dessa distância, nós vamos ter mais uma e mais outra aqui e em vez disso, agora vamos ter algo aqui, e aqui um, dois e três, bem aqui. Assim, a curva escalonada vai ser algo mais ou menos assim. E claro, eu estou considerando “c” igual a 3 somente para você ter uma noção do que acontece. Então, completando a curva, vai ser algo mais ou menos assim. Agora, qual vai ser a área entre essa nova curva e o eixo x? Ou seja, essa área aqui? Nós já sabemos como denotar isso. Sabemos que a área dessa curva é a integral de “a” até “b” dessa função, que é c vezes f(x) dx. E qual é a relação dessa integral com essa aqui? Ou seja, qual é a relação dessa área com essa área? Uma forma de pensar nisso é que nós deslocamos a área em "c" unidades na vertical. Para entender isso, nós podemos pensar na área de um retângulo. Vamos dizer que eu tenha aqui um retângulo com as dimensões α e β [alfa e beta] (eu não vou colocar “a” e “b” porque nós já temos ali na integral). Para descobrir a área desse retângulo, nós multiplicamos a base pela altura, ou seja, α vezes β. Agora, o que acontece se multiplicarmos essa altura por “c” unidades? O que vai acontecer com a área? O nosso retângulo agora tem uma altura maior, isso porque nós multiplicamos α por uma constante “c”, o que fez com que sua altura aumentasse, mas a base se mantivesse constante. Qual vai ser a área desse novo retângulo? Simples. Nós pegamos a base e multiplicamos pela altura: “c” vezes α vezes β, ou seja, se aumentarmos uma das dimensões do retângulo em “c” unidades, então a sua área vai ser ampliada, vai ser aumentada, em “c” unidades. É o que está acontecendo aqui. Nós aumentamos a altura da curva em “c” unidades e com isso a área foi aumentada em “c” unidades. Lembre-se da soma de Riemann: f(x) nos dava a altura de todos esses retângulos, e agora nós estamos escalonando a função. Não necessariamente aumentando, porque “c” pode ser um número negativo e isso faz com que a área seja escalonada por uma constante “c”. Então essa área pode ser representada pela integral de “a” até “b” de “c” vezes f(x) dx, que é a mesma coisa que “c” vezes a integral de “a” até “b” de f(x) dx. Ou seja, essa integral está escalonada em “c” unidades. Pode ser que, inicialmente, você tenha até pensado: "Espere aí, se aqui eu tenho uma constante multiplicando uma função f(x), eu posso jogá-la para a frente da integral, ficando com isso, não é?” Sim, mas de novo, aqui eu só quero dar uma ideia intuitiva do porquê disso aqui ser verdade. Ainda não estou fazendo nenhuma prova rigorosa, eu só quero que você tenha em mente que isso acontece por causa disso aqui. Ou seja, se você aumentar a altura dessa curva em “c” unidades, essa área vai ser aumentada também em “c” unidades. Como nós representamos essa área pela integral, isso é a mesma coisa que escrever assim, o que vai lhe ajudar bastante na hora de calcular integrais. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!