Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo de integral definida. Para isso, vamos observar esse gráfico de "y = f(x)" que temos aqui. Observe que temos algumas regiões sombreadas e em cada uma dessas regiões temos um número. Cada um desses números corresponde à área entre a curva e o eixo "x". O que vamos fazer aqui é calcular algumas integrais utilizando estas informações aqui do gráfico e algumas propriedades de integrais definidas. Vamos começar aqui com o primeiro exemplo. Vamos dizer que a gente queira avaliar a integral definida indo de -4 até -2 de f(x)dx mais a integral definida indo de -2 até zero de f(x)dx. Pause este vídeo e veja se você consegue avaliar toda esta expressão. Nesta primeira parte aqui da nossa expressão, temos a integral definida de -4 a -2 de f(x)dx, ou seja, estamos indo de "x = -4'' até "x = -2". Sendo assim, isso aqui pode ser avaliado como a área entre a nossa curva e o eixo "x", mas neste caso, o valor vai ser negativo, porque a curva está abaixo do eixo "x". Podemos tentar estimar isso com base nas informações que foram fornecidas. Só que o problema não forneceu exatamente esse valor, e também precisamos descobrir o restante da expressão, em que aqui temos a integral de -2 a zero de f(x)dx. Então, isso aqui vai ser esta área. Se você está olhando para a soma de duas integrais definidas, e observa que o limite superior aqui é o limite inferior aqui, você provavelmente está pensando em algo, ou seja, que isto é a mesma coisa que a integral definida indo de "x = -4" a "x = 0" de f(x)dx. Isso é uma das propriedades de integração. Se o nosso limite superior aqui é igual ao nosso limite inferior aqui, e estamos integrando a mesma coisa, você pode mesclar estas duas integrais definidas dessa forma. Assim, isso vai ser toda esta área aqui, mas como estamos abaixo do eixo "x" e acima de nossa curva, a integral será o negativo aqui desta área. Sendo assim, isso vai ser igual a -7. Vamos fazer outro exemplo aqui agora? Vamos supor que você estivesse andando na rua e aí alguém do nada te parasse e te perguntasse: olhe, aqui temos um gráfico, e qual é o valor da integral de zero a 4 de f(x)dx mais a integral definida de 4 a 6 de f(x)dx? Pause este vídeo e tente fazer isso. Bem, mais uma vez, esta primeira parte bem aqui vai de zero a 4, então, corresponde a essa área aqui. Aqui temos 5, mas aqui precisamos subtrair esta área, porque ela está abaixo do nosso eixo "x" e acima da nossa curva. Não sabemos exatamente quanto é isso, mas felizmente, também precisamos somar isso com essa outra integral. Sendo assim, também vamos de 4 a 6, então, também precisamos considerar esta área. Mais uma vez, quando vemos dessa maneira, podemos ver que esta expressão vai ser equivalente à integral definida de zero a 6 de f(x)dx. E mais uma vez, mesmo que você não tenha visto o gráfico, você saberia disso, porque em ambos os casos você está obtendo a integral definida de f(x)dx, e nosso limite o superior aqui é o nosso limite inferior aqui. Assim, mais uma vez, somos capazes de fundir as integrais. Mas enfim, isto aqui vai ser igual a quê? Bem, nós temos esta área aqui, que é 5, e também estamos toda esta área aqui que é 6. Isso foi fornecido. Mas como essa área está abaixo do eixo "x" e acima de nossa curva, quando avaliarmos esta área aqui como uma integral definida, ela precisa ser considerada como -6. Assim, temos que integral definida vai ser igual a 5 - 6, e é igual -1. E terminamos! Eu espero que você tenha compreendido direitinho estes exemplos aqui e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!