Integrais definidas negativas

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre as integrais definidas negativas. A gente já conversou sobre o significado de uma integral definida, não foi? Por exemplo, se eu estiver calculando a integral definida de "a" até "b" de f(x)dx, eu posso pensar nessa integral como a área abaixo da minha função. Vamos ver isso aqui? Eu vou colocar aqui o meu eixo "y" e aqui o meu eixo "x". Vamos considerar que aqui a gente tem uma curva onde "y = f(x)". Eu posso ter aqui um "a" e aqui um "b". Como eu disse, eu posso ver esta expressão como sendo igual a esta área aqui. Agora, eu quero te fazer uma pergunta. E se a minha função não estiver acima do eixo "x"? Ou melhor, se ela estiver abaixo do eixo "x"? Bem, deixa eu desenhar esse cenário aqui. Neste cenário, eu tenho aqui o meu eixo "x" e o meu eixo "y". Vamos dizer que a gente tenha uma função se parece com isso aqui. Eu vou dizer que esta curva representa "y = g(x)". Vamos dizer que eu tenha um "a" e aqui um "b" também. E vamos dizer que esta área bem aqui é igual a 5. Agora, se eu fosse te perguntar qual é a integral definida de "a" até "b" de g(x)dx? Qual valor você acha que vai ser? Bem, você pode ser tentado a dizer: "ei, é apenas a área novamente entre minha curva e o eixo x". Aí você vai dizer: "então isso aqui é igual a 5". O caso é, que você precisa ter muito cuidado aqui, porque se você está olhando a área acima da sua curva e abaixo do eixo "x", ou, se você está olhando abaixo da sua curva e acima do eixo "x", teremos integrais definidas com sinais diferentes. A gente vai ver, mais tarde, por que isso vai funcionar bem com todo o conjunto de propriedades de integração. Mas se você quiser obter alguma intuição para isso, a gente pode pensar aqui em um gráfico de velocidade em função do tempo. Vamos supor que aqui no meu eixo horizontal eu tenha o tempo, e aqui no meu eixo vertical eu tenha a velocidade. A velocidade vai ser medida em metros por segundo (m/s), e o tempo será medido em segundos (s). Eu vou fazer dois cenários diferentes aqui. No primeiro, vamos dizer que eu tenha um gráfico de velocidade que eu vou chamar de v₁, e que isso vai ser igual a 3. Então, eu posso marcar aqui neste gráfico 1, 2, 3 m/s. Isto vai ser v₁(t). Se eu fosse calcular uma integral definida indo do instante de tempo igual a 1 até 5 de v₁(t)dt, qual será o resultado disso? Bem, aqui a minha função está acima do eixo "t", e aí eu vou de 1 até 5. Eu posso apenas pensar sobre esta área aqui, e esta área é muito fácil de calcular. Vai ser 3 m/s vezes 4 s. Esta é a minha variação no tempo, e isto aqui vai ser igual a 12. Mas 12 o quê? 12 metros. Então isso é igual a 12. Uma forma de conceituar isso, é que esta integral nos fornece a variação da posição. Se minha velocidade for 3 m/s, e como ela é a positiva, você pode conceituar isso dizendo que está indo para direita a 3 m/s. Assim, qual vai ser a variação da posição? Bem, de acordo com este caso, a gente teria ido 12 metros à direita. E você nem precisa de cálculo para descobrir isso, 3 m/s vezes 4 s é igual a 12 m. Mas agora, e se fosse o contrário? E se eu tivesse outra função de velocidade? Vamos chamar esta função de v₂(t), em que isso é igual a -2 m/s. Então, temos v₂(t) bem aqui. Vamos calcular também a integral indo de 1 a 5 de v₂(t)dt. Isso vai ser igual a quê? Bem, deve ser igual à variação de posição, mas como a velocidade é negativa, isso significa que eu estou indo para a esquerda, isso significa que a minha variação na posição foi para a esquerda, em oposição à direita. Mas, neste caso, a gente pode olhar para esta área bem aqui. Como é um retângulo, podemos calcular a área do retângulo multiplicando 2 com 4, que é igual a 8. Mas é aqui que precisamos tomar muito cuidado. Uma vez que está abaixo do eixo horizontal e acima da minha função, isso vai ser negativo. E isso deve fazer muito sentido, porque se eu for 2 m/s para a esquerda por 4 s, ou outra forma de pensar sobre isso, é que seu for -2 m/s por 4 s, a minha variação de posição vai ser igual -8 m. Eu teria me movido 8 m para a esquerda, isso, claro, convencionando que negativo significa para a esquerda. Então, a grande lição que você precisa aprender aqui é: que se está abaixo da sua função e acima do eixo horizontal, e o "a" é menor que o "b", a integral definida vai ser positiva. Agora, se o seu "a" for menor que o "b", mas a sua função nesse intervalo estiver abaixo do eixo horizontal, então a integral definida vai ser negativa. Claro, no futuro a gente também vai conferir casos em que misturamos ambas as situações, mas isso é um pouquinho mais complicado, então, vamos deixar isso aí um pouquinho mais para frente. Eu espero que você tenha compreendido o que a gente conversou aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!