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Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x no limite inferior

Às vezes você precisa trocar os limites de integração antes de aplicar o teorema fundamental do cálculo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Queremos encontrar a derivada em relação a "x" de tudo isto, e você pode perguntar se isto é definitivamente uma função de "x". "x" é um dos limites de integração para esta integral definida. E você pode dizer: "bem, isso parece como o teorema fundamental do cálculo pode-se aplicar", mas estou vendo "x" ou a função "x" como o limite superior, não como um limite inferior. Então, como lidar com isso? A chave para resolver isto é o que acontece quando você muda os limites de uma integral definida. Vou escrever um pouco para relembrar isso. Se eu tomo uma integral definida de "a" até "b" de f(t)dt, nós sabemos que isso é "F", a antiderivada de "F" calculada em "b" menos a antiderivada de "F" calculada em "a". Este é corolário do teorema fundamental, ou o teorema fundamental parte 2, ou o segundo teorema fundamental do cálculo. Este é o modo como calculamos integrais definidas. Agora vamos pensar sobre o que é o negativo disto. O negativo disto de "a" até "b" de f(t) dt será igual ao negativo disto, que será igual ao negativo de F(b) - F(a). Isto é igual à antiderivada de F(a) menos a antiderivada de F(b). Tudo o que fiz foi substituir o sinal negativo e então trocar os dois termos. Mas isto bem aqui é igual à integral definida de, não de "a" até "b", mas sim, de "b" até "a" de f(t) dt. Então veja, quando colocamos -1, é o mesmo que trocar os sinais, ou trocar os limites, ou se você troca os limites, eles são negativos um do outro, então, nós podemos voltar ao nosso problema original. Nós podemos reescrever isto como a derivada em relação ao "x" de, ao invés disto, isso será o negativo da mesma integral definida, mas com limites trocados. O negativo de "x" com limite superior, sendo "x", e o limite inferior é 3, raiz quadrada do valor absoluto de cos(t) dt. Isto será igual a, podemos tomar um negativo de fora vezes a derivada com relação a "x" de tudo isso. Eu posso apenas copiar e colar isto aqui. Colei. Então, vezes a derivada com relação a "x", de tudo isto. E agora, o teorema fundamental do cálculo aplica-se diretamente. Isto será igual ao negativo. Não esqueça o negativo. E o teorema fundamental do cálculo nos diz que isso será esta função como uma função de "x", então, isto será o negativo da raiz quadrada do valor absoluto do cosseno, não mais de "t", mas sim de "x". E terminamos.