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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 6: Aplicação das propriedades das integrais definidas- Integrais definidas negativas
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Integral definida sobre um único ponto
- Integração de uma versão em escala da função
- Inversão de limites da integral definida
- Integração de somas de funções
- Exemplos resolvidos: cálculo de integrais definidas usando propriedades algébricas
- Encontrando integrais definidas usando propriedades algébricas
- Integrais definidas em intervalos adjacentes
- Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral
- Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Funções definidas por integrais: intervalos trocados
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x no limite inferior
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites
- Revisão das propriedades das integrais definidas
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Inversão de limites da integral definida
O que acontece quando você troca os limites de uma integral?
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Nós temos uma função y = f(x)
e temos dois pontos: "a" e "b". Nós já vimos diversas vezes
a definição da integral, em que a integral corresponde
a toda esta área formada abaixo desta curva,
entre os pontos "a" e "b". Basicamente, para determinar a integral,
é observar pequenos retângulos (por exemplo, um retângulo 1,
um retângulo 2, vários e vários indo até um outro retângulo "n") e somar todos esses retângulos. Vamos supor que este pequeno
retângulo tenha um comprimento Δx e que todos os retângulos tenham
o mesmo comprimento Δx. Um detalhe: existem outras
definições para integral em que este Δx não precisa ter
necessariamente o mesmo tamanho, mas aqui eu vou considerar que todos
eles tenham o mesmo tamanho, todos têm o mesmo comprimento,
tudo bem? Sendo assim, para determinar
este comprimento Δx, basta simplesmente calcular
a diferença entre "a" e "b" e dividir pelo número de retângulos
que tem aqui dentro. Então, teríamos: b - a, dividido por "n", que corresponde ao número
de retângulos que tem aqui dentro. Assim, a gente consegue determinar o
comprimento de cada um desses retângulos. Agora, se a gente quiser saber a área
de cada retângulo, basta multiplicar o comprimento
do retângulo (Δx) com a altura desse retângulo. Ou seja, basta multiplicar o comprimento
Δx com a função f(x), que corresponde à altura de cada um
desses triângulos em cada um dos pontos ao longo da função. Isso corresponde à área de cada retângulo. Assim, somando todas as áreas, indo da área
do primeiro retângulo até o retângulo "n", a gente consegue determinar a área
de toda esta figura. Vamos fazer aqui: para determinar esta área, a gente calcula o somatório de i = 1, indo até "n", da área formada por
cada um destes retângulos. Então, teríamos que a função para xᵢ,
f(xᵢ), vezes Δx. Como todos os retângulos têm o mesmo
comprimento Δx, eu não vou colocar aqui o "i", onde Δx = b - a, dividido por "n". Um detalhe importante:
como isso é uma função não linear, a gente precisa considerar que cada um
destes retângulos são infinitamente pequenos. Então, precisamos considerar que
este Δx está tendendo a zero. Vamos calcular o limite de Δx tendendo a zero. Esta área, que corresponde a esta integral, vai ser igual ao limite de Δx tendendo a zero. E o limite de Δx tendendo a zero, nós vamos encontrar um Δx tendendo
a zero quando "n" tender ao infinito, já que, com "n" tendendo ao infinito, a gente
vai ter infinitos retângulos formados aqui e cada um deles tem um Δx muito próximo
de zero, um Δx tendendo a zero. Então, a gente calcula esse limite com "n"
indo para o infinito, tendendo ao infinito. Ok, fizemos esta integral. Agora vamos supor que a gente
queira saber a integral, ao invés de ir do "a" para o "b",
indo do "b" para o "a". Então, teríamos aqui a integral,
indo de "b" para "a", da mesma forma, de f(x) dx. Isto vai ser igual... Se você observar,
vamos ter basicamente a mesma coisa. Vamos ter infinitos retângulos aqui, em que a área de cada um desses infinitos
retângulos vai ser o somatório da função de "x" vezes Δx. E, como vamos ter infinitos retângulos
com Δx tendendo a zero, vamos ter também um limite de "n"
tendendo ao infinito. Então, a gente pode copiar tudo isto
e colar aqui embaixo. Vamos copiar e colocar tudo isso aqui,
deste jeito, porque é exatamente a mesma coisa. Agora a gente só precisa fazer
uma pequena observação: O f(x) não vai mudar. Independente de você ir do "a" para o "b"
ou do "b" para o "a", o f(x) aqui é o mesmo f(x) aqui. Mas este Δx vai mudar, já que, se você for do "a" para o "b", você vai ter um Δx positivo. Agora, se você for do "b" para o "a",
você vai ter um Δx negativo. Aqui, nesta expressão de baixo,
o Δx é negativo. Aqui a gente tem um Δx negativo, já que a gente não vai ter b - a. O Δx vai ser igual a a - b, já que a gente está indo agora
do "b" para o "a". Então, tendo esse Δx negativo, neste somatório todo a gente vai
encontrar um valor negativo. Em contrapartida, como o Δx aqui
em cima é igual a b - a, sobre "n", a gente tem um valor positivo. Estas duas expressões são iguais
em módulo. No entanto, um é positivo,
enquanto o outro é negativo. Sendo assim, eu posso dizer para você que a integral indo de "b" até "a" da função f(x) dx vai ser igual a menos a integral
indo de "a" até "b" da função f(x) dx. Essa é uma propriedade muito importante
e que vai te ajudar a resolver diversos problemas, sabendo, que quando você inverte o intervalo,
vai estar trocando o sinal da integral. Então, se você quer calcular integral
indo de "a" até "b", isso vai ser igual à integral indo de "b" até "a",
só que com o sinal trocado. Como eu disse, essa é uma propriedade
de integração muito importante, principalmente para identificar alguns
intervalos e até mesmo resolvê-los.