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Demonstração do teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo é muito importante no cálculo (você pode até dizer que ele é fundamental!). Ela conecta derivadas e integrais em duas formas equivalentes:
I.ddxaxf(t)dt=f(x)II.ab ⁣ ⁣f(x)dx=F(b) ⁣ ⁣ ⁣F(a)\begin{aligned} I.&\,\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) \\\\ II.&\,\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)dx=F(b)\!-\!\!F(a) \end{aligned}
A primeira parte diz que se você definir uma função como a integral definida de outra função f, então a nova função é uma primitiva de f.
A segunda parte diz que para encontrar a integral definida de f entre a e b, devemos encontrar uma primitiva de f, chamá-la de F, e calcular F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.
O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, vamos provar a primeira parte do teorema.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Depois, oferecemos uma intuição sobre a correção da segunda parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Intuition for second part of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Finalmente, provamos a segunda parte do teorema com base na primeira parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
The fundamental theorem of calculus and definite integralsVer transcrição do vídeo