Conteúdo principal

Cálculo Avançado BC

Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6

Lição 7: O teorema fundamental do cálculo e integrais definidas

Demonstração do teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo é muito importante no cálculo (você pode até dizer que ele é fundamental!). Ela conecta derivadas e integrais em duas formas equivalentes:

\begin{aligned} I.&\,\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) \\\\ II.&\,\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)dx=F(b)\!-\!\!F(a) \end{aligned}

A primeira parte diz que se você definir uma função como a integral definida de outra função f, então a nova função é uma primitiva de f.

A segunda parte diz que para encontrar a integral definida de f entre a e b, devemos encontrar uma primitiva de f, chamá-la de F, e calcular F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, vamos provar a primeira parte do teorema.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Depois, oferecemos uma intuição sobre a correção da segunda parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Intuition for second part of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Finalmente, provamos a segunda parte do teorema com base na primeira parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

The fundamental theorem of calculus and definite integralsVer transcrição do vídeo

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.