Integral definida com um logaritmo natural

RKA8JV - Vamos supor que você queira pegar a integral definida de 2 a 4 de 6 + x² sobre x³, dx. A primeira coisa que nós podemos fazer é separar esta soma desta fração em dois termos: 6/x³ + x²/x³ dx. Agora, podemos simplificar e ficamos com a integral de 2 até 4 de 6 vezes x⁻³ + 1/x dx. Obviamente, tudo isso aqui está entre parênteses. A primeira parte é a mais simples, pois podemos aplicar a regra da potência, ou seja, a integral de xⁿ dx é igual a xⁿ ⁺ ¹ / n + 1 mais uma constante "c". Quando a integral é definida, você não precisa se preocupar com esta constante "c", pois ela vai ser somada e subtraída, então, ela vai se anular. Agora, a integral de 1/x, você pode pensar em termos de x⁻¹ dx, o que ficaria x⁻¹⁺¹ / -1 + 1, e isso não existe. Nós vimos, em vídeos anteriores, que a integral de (1/x dx) = ln do módulo de "x" mais uma constante. Voltando para a nossa integral, nós temos que antiderivada de 6x⁻³ será 6x⁻² / -2 mais o logaritmo natural do módulo de "x" no intervalo entre 2 e 4. Simplificando esta expressão, nós vamos ter -3/x² + ln do módulo de "x" no intervalo de 2 até 4. Desenvolvendo, nós vamos ter -3/4² + ln do módulo de 4 mas 4 é positivo, podemos apenas colocar módulo de 4 - (-3)/2² + ln(2). Abrindo esse parênteses, nós vamos ter -3/16 + ln(4), menos com menos dá mais, então mais 3/4 - ln(2). Desenvolvendo aqui e multiplicando por 4 em cima e embaixo, nós vamos ter -3/16 + 12/16 + ln(4) - ln(2). A próxima etapa, nós temos no numerador -3 + 12, vamos ter 9/16 + ln(4) - ln(2). Aplicando a propriedade dos logaritmos, nós vamos ter 9/16 + ln(4/2). Então, finalmente, teremos 9/16 + ln(2) e terminamos.