Integral definida de uma função modular

RKA8JV - Temos aqui uma função f(x) igual ao módulo de "x + 2", e queremos a integral de -4 até zero de f(x) dx. Você pode pensar: "esta função não é contínua, pois ela é uma função modular." De qualquer forma, você pode também pensar em quebrar esta função em duas funções para valores onde "x + 2" seja menor do que zero e onde "x + 2" seja maior ou igual a zero. Quando "x + 2 < 0", significa que ''x < -2" e a função vai ser o oposto desta, pois, se o que está aqui dentro do módulo é negativo, você vai pegar o oposto dele, ou seja, "-x - 2". A função é esta para os valores de ''x < -2". E para os valores de "x ≥ -2", o que está dentro do módulo vai ser positivo, então, ela continua sendo ela mesma, pois você não vai pegar o oposto uma vez que você já tem um valor positivo. Portanto aqui, nós quebramos em duas funções, e nossa integral, podemos fazer a integral de -4 até -2, onde a função que vale é (-x - 2) dx, mais a integral de -2 até zero de ''x + 2" , que é a segunda função. Nós dividimos nossa integral em duas integrais, e agora podemos integrar, fazer a antiderivada. Nós fazemos a antiderivada, e nós vamos ter (-x²/2 - 2x) no intervalo de -4 até -2. E esta outra integral, nós vamos ter x²/2 + 2x no intervalo de -2 até zero. Então, vamos ter -(-2)²/2 menos 2(-2) menos, agora por 4. Ficamos com -(-4)²/2 menos 2(-4) mais, zero, a primeira vai ser zero, porque aqui é zero e aqui é zero, então, vamos ter -(-2)²/2 + 2(-2). Então, ficamos com, deste lado, nós temos 4, -4/2 vai ser -2, menos com menos dá mais, então +4. E aqui vamos ter, 16/2, que vai ser -8, e -2(-4) vai ser +8, portanto, isto aqui vai dar zero. Então, deste lado nós temos 2. Deste outro lado, vamos ter -2² dá 4, dividido por 2 dá 2, mais -4, então, isso aqui dá -2, com sinal o negativo na frente vai dar +2. Portanto, nós temos a nossa integral igual a 4, ou seja, a integral de -4 até zero do módulo de (x + 2) dx vai ser igual a 4. Agora, vamos ver uma interpretação geométrica. Vamos fazer um gráfico desta função modular. Nós temos o eixo ''y" aqui, nós temos o eixo ''x'' aqui e nós temos o valor -2, que é o menor valor que esta função pode assumir, pois ela nunca é negativa. Deste lado de cá, ela tem uma inclinação -1. Quando "x" for -2, -2 com sinal negativo fica +2. 2 - 2 é zero, então, ela vai ficar nesse ponto e ela vai ser uma função desta forma, com a inclinação negativa. Do outro lado, ela vai ter a inclinação positiva e o menor valor vai ser quando "x = -2". -2 + 2 vai ser zero, e ela vai ter uma inclinação positiva desta forma. Nós queremos o intervalo de -4 até -2 e de -2 até zero. Ora, nessa parte, nós temos este triângulo aqui. Sabendo que a integral nada mais é do que a área sob a curva em questão, nós podemos calcular quais são estas duas áreas em questão. Este comprimento daqui para cá é de -4 até -2, vale 2, e essa altura aqui, quando "x" for -4, -4 colocado aqui vai ficar -(-4), que dá +4 menos 2, o que vai dar 2. Este ponto aqui vale 2. Então, esta altura aqui vale 2. Se a altura do triângulo vale 2 e a base vale 2, 2 vezes 2, dá 4, dividido por 2, esta área vale 2. No nosso segundo retângulo, nós temos este comprimento aqui, de menos 2 até zero vale 2, e quando "x" for zero, "y" vai valer 2, ou seja, ele passa por este ponto 2, este comprimento aqui é 2. Então 2 vezes 2 dá 4, sobre 2, igual a 2. Ou seja, a soma das duas áreas, que vai ser a nossa integral, que nós queremos saber, de -4 até zero, do módulo de (x + 2) dx vai ser igual a 4, que é a soma dessas duas áreas. Portanto, você viu da forma geométrica que, obviamente, neste caso, especificamente, a integral é mais fácil de você calcular do que a forma que nós fizemos, onde nós quebramos a integral em duas partes onde a função é contínua, pois nesse ponto, a função não é contínua. Quando quebramos a integral em duas partes, em uma primeira e em uma segunda, calculamos a primeira integral, que deu 2, e calculamos a segunda integral, que deu 2 também e a soma deu 4, portanto, calculamos tanto da forma integral, ou antiderivada, dividindo em partes, como da forma geométrica, que dá uma visão bastante razoável de como estamos fazendo, como cálculo da soma de duas áreas. Portanto, a resposta é 4.