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Integral definida de uma função irracional

Usando a regra da potência reversa, encontramos a integral definida de 12∛x entre -1 e 8.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Neste vídeo, eu quero avaliar a integral definida de -1 a 8 de 12 vezes a raiz cúbica de "x" dx. Bem, vamos ver isso. Isto aqui é a mesma coisa que a integral definida indo de -1 a 8 de 12 vezes "x" elevado a "1/3", já que a raiz cúbica é a mesma coisa que 1/3. Agora, o que nós podemos fazer aqui é calcular a antiderivada do que está no interior desta integral. Assim, nós podemos aumentar este expoente aqui por 1, ou seja adicionar 1 neste expoente, e depois dividimos esta função pelo valor que temos como resultado no expoente. Então, isto aqui vai ser igual a 12 vezes "x" elevado a "1/3 + 1". Deixe-me fazer isso aqui com uma outra cor para a gente poder ter uma visualização melhor. Depois que fizermos "x" elevado a "1/3 + 1" podemos dividir por 1/3 + 1. Como sabemos, 1/3 + 1 = 4/3, já que 1/3 + 3/3 = 4/3. Então, eu poderia escrever da seguinte forma: poderia escrever "x" elevado a 4/3, dividido por 4/3. É isso que eu vou avaliar nesses limites de integração. Eu vou avaliar isso, deixe-me fazer também em cores diferentes. Eu vou avaliar esta integral aqui indo de -1 a 8, então, podemos substituir estes valores aqui no lugar do "x" e resolver isso. Então substituindo esses valores deste intervalo aqui nesta função, vamos ter algo igual a quê? Bem, na verdade vamos simplificar isso aqui. O que seria 12 dividido por 4/3? Então, em 12, eu vou fazer, deixe-me fazer isso aqui bem aqui, então 12 sobre 4/3 é igual a 12 vezes 3/4. Então, isso vai ser igual a 12 por 1 vezes 3/4. 12/4 é 3, e 3 vezes 3 é igual a 9. Então, 3/4 de 12 é 9. Poderíamos, então, reescrever isso aqui como sendo 9 vezes "x" elevado a "4/3". Agora podemos avaliar isso aqui do intervalo indo de -1 a 8. Isto aqui vai ser 9 vezes 8⁴/³ e aí nós temos que subtrair isto aqui colocando -1 no lugar de "x". Assim, nós vamos ter isso menos 9 vezes -1⁴/³. Tudo bem, mas o que seria 8⁴/³? Deixe-me fazer isso aqui do lado. 8⁴/³ é igual a (8¹/³) elevado a quarta potência. Essas são propriedades dos expoentes, ok? 8¹/³ é igual à raiz cúbica de 8, e a raiz cúbica de 8 é igual a 2, já que 2³ = 8. Agora 2⁴ = 16. Assim, 8⁴/³ = 16. Agora, quanto seria -1⁴/³? Bem, é a mesma ideia, -1⁴/³ é igual a (-1), bem, na verdade existem várias maneiras, mas podemos colocar isso aqui como sendo -1⁴ elevado a 1/3. Mas também poderíamos tirar a raiz cúbica de -1 e depois elevar isso à quarta potência, qualquer um dos dois serve. Bem, mas vamos fazer da primeira forma, pegando -1 e elevando à quarta potência e, em seguida, tirando a raiz cúbica. Bem, -1⁴ = 1. Tirando a raiz cúbica de 1, vamos ter algo igual a 1. Então, o que nós temos aqui em azul é apenas 1. Agora, resolvendo tudo isso, nós vamos ter 9 vezes 16 menos 9 vezes 1. Bem, basta repetir o 9 e subtrair o 16 com 1 e aí nós vamos ter 9 vezes 15. 9 vezes 15 = 135. Então, o resultado desta integral é 135.