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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição com integrais definidas
Realizar a integração por substituição com integrais definidas é muito similar ao que é feito com integrais indefinidas, mas com um passo adicional: considerar os limites de integração. Vamos ver o que isso significa calculando integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Notamos que start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab é a derivada de start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, então a integração por substituição se aplica. Seja start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, então start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Agora substituímos:
Espere um momento! Os limites de integração foram ajustados para x, e não para u. Pense nisso graficamente. Nós queremos a área sob a curva start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd entre x, equals, 1 e x, equals, 2.
Agora que mudamos a curva para start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, por que os limites deveriam permanecer os mesmos?
De fato, os limites não devem permanecer os mesmos. Para encontrar os novos limites, precisamos encontrar quais valores de start color #1fab54, u, end color #1fab54 correspondem a start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 para x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c e x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
- Limite inferior: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
- Limite Superior: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Agora podemos realizar corretamente a integração por substituição:
A partir daqui, podemos resolver tudo em função de u:
Lembre-se: quando usarmos integração por substituição com integrais definidas, precisamos sempre levar em conta os limites de integração.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
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- Ao multiplica 15 por (3.5) porque o 3 desaparece da questão?(1 voto)
- Ele separou o 15 em 3x5. O 3 ele deixou multiplicando o x, para virar 3x, que é a derivada de x³-7 e poder substituir por du. Já o 5 saiu para fora da integral utilizando a propriedade da multiplicação por uma constante.(4 votos)