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Cálculo Avançado BC

Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6

Lição 11: Integração por substituição
Matemática
Cálculo Avançado BC
Integração e acumulação de variação
Integração por substituição
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Integração por substituição com integrais definidas

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Realizar a integração por substituição com integrais definidas é muito similar ao que é feito com integrais indefinidas, mas com um passo adicional: considerar os limites de integração. Vamos ver o que isso significa calculando integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Notamos que start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab é a derivada de start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, então a integração por substituição se aplica. Seja start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, então start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Agora substituímos:
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Espere um momento! Os limites de integração foram ajustados para x, e não para u. Pense nisso graficamente. Nós queremos a área sob a curva start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd entre x, equals, 1 e x, equals, 2.
A função y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado + 1, fecha parênteses, elevado ao cubo está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 3. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 2, move-se para cima, para longe do eixo x, para (2, 500). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 2, está em destaque.
Agora que mudamos a curva para start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, por que os limites deveriam permanecer os mesmos?
As funções y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado +1, fecha parênteses, elevado ao cubo e y = u ao cubo são representadas graficamente, juntas. O gráfico de y = u começa no quadrante 2, move-se para cima, afasta-se do eixo x e termina em aproximadamente (3, 27).
Tanto start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd quanto start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff são mostrados no gráfico. É possível ver que as áreas abaixo das curvas entre x, equals, 1 e x, equals, 2 (ou u, equals, 1 e u, equals, 2) têm tamanhos muito diferentes.
De fato, os limites não devem permanecer os mesmos. Para encontrar os novos limites, precisamos encontrar quais valores de start color #1fab54, u, end color #1fab54 correspondem a start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 para x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c e x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
  • Limite inferior: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
  • Limite Superior: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Agora podemos realizar corretamente a integração por substituição:
integral, start subscript, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end superscript, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, end superscript, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
As funções y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado + 1, fecha parênteses, ao cubo e y = u ao cubo são representadas graficamente, juntas. O eixo x vai de 1 negativo até 6. Os gráficos se movem para cima e se afastam do eixo x. A primeira função termina em (2, 500). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 2, está em destaque. A segunda função termina em aproximadamente (6, 210). A região entre a curva o eixo x, entre x = 1 e x = 5, está em destaque. As 2 regiões destacadas aparentam ter o mesmo tamanho.
start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff é mostrado no gráfico com a área de u, equals, 2 a u, equals, 5. Agora podemos ver que as áreas sombreadas parecem ser aproximadamente do mesmo tamanho (elas são, na verdade, exatamente do mesmo tamanho, mas é difícil dizer apenas olhando).
A partir daqui, podemos resolver tudo em função de u:
∫25u3 du=[u44]25=544−244=152,25\begin{aligned} \displaystyle\int_{2}^5 u^3\,du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_{2}^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{2^4}{4} \\\\ &=152{,}25 \end{aligned}
Lembre-se: quando usarmos integração por substituição com integrais definidas, precisamos sempre levar em conta os limites de integração.
Problema 1
Elisa deve encontrar integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x. Esta foi sua solução:
Etapa 1: Seja u, equals, x, squared, plus, x
Etapa 2: d, u, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, d, x
Etapa 3:
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, u, cubed, d, u
Etapa 4:
∫15u3du=[u44]15=544−144=156\begin{aligned} \displaystyle\int_1^5 u^3du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{1^4}{4} \\\\ &=156 \end{aligned}
O trabalho de Elisa está correto? Se não, onde ela errou?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, 15, x, squared, left parenthesis, x, cubed, minus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

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