Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)

RKA14C Oi, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito de substituição em integrais e ver quando é ideal utilizar a substituição u. Então, vamos resolver a integral indefinida (ln(x)¹⁰) / x dx. Será que conseguimos utilizar a substituição u? A chave para podermos utilizar substituição é ver se temos uma função e sua derivada na expressão. Observe que nós temos ln(x) e a sua derivada é 1/x. Para ficar mais claro, posso reescrever essa integral como (ln(x)¹⁰) vezes 1/x dx. Agora fica mais fácil de ver que nós temos ln(x)¹⁰, e temos a sua derivada aqui, portanto, podemos utilizar a substituição. Eu posso dizer que u = ln(x), eu utilizei essa função porque temos a derivada dela aqui. Com isso eu posso escrever que du/dx = 1/x. Se isolarmos o du, vamos ficar com: du = 1/x dx. Agora, sim, note que este aqui é o du, e ln(x) é o u. Portanto, eu posso simplificar essa integral reescrevendo como ∫ u¹⁰ du. Com isso, você resolveria essa integral, acharia o u e substituiria aqui para encontrar o x e finalmente resolver essa integral. Vamos fazer outro exemplo? Vamos resolver aqui ∫ tg(x) dx. Essa integral é muito interessante. Será que você consegue utilizar a substituição para resolver essa integral? Pode ser que você olhe para ela e pense: "Espera aí, aqui só tem uma tangente, como eu vou utilizar a substituição?". A primeira coisa é pensar que tg = sen ÷ cos. Então, eu posso reescrever essa integral como sen(x) dividido por cos(x), vezes dx. Será que agora conseguimos utilizar a substituição u? Bem, olhando aqui, nós podemos dizer que a derivada do seno é o cosseno, ou seja, que nós temos uma função e temos a sua derivada. Mas, neste caso, temos uma divisão e não uma multiplicação. Ou seja, vamos ter que fazer alguma manipulação para poder fazer a substituição u. Para isso, o ideal é você pensar que a derivada do cosseno é menos seno. Mas, espera aí! O seno está positivo aqui. O que eu devo fazer? O que podemos fazer é colocar um sinal de menos aqui e um aqui, ou seja, multiplicar a expressão duas vezes por -1. Isso não vai alterar o resultado dela, porque -1 vezes -1 = +1. E por que fazer isso é importante? Simples, porque nós podemos reescrever a expressão como - ∫ 1/cos(x) vezes -sen(x) dx. Será que agora podemos utilizar a substituição u? Sim! Porque, observe, nós temos cos(x) e temos a derivada do cos(x), portanto, eu posso dizer que u = cos(x). E du/dx = -sen(x). E, se isolarmos du, vamos ficar com du = -sen(x) dx. Note que aqui nós temos du, então, este aqui é du, e este aqui é u. Com isso, podemos simplificar a integral reescrevendo como - ∫ 1/u du. É muito mais fácil de resolver essa integral do que esta aqui. Mas, claro, você vai resolver para u, e depois voltar nesta parte para resolver para x. Eu espero que essa aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!