Integração por substituição: integrais definidas

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos aprender a utilizar a substituição uh uh em integrais definidas Então vamos dizer que nós temos uma integral está no intervalo de 1 até 2 de 2 x e multiplica x ao quadrado mais um elevado ao cubo de X ok eu já falei que vou utilizar a substituição o aqui mas o mais importante é saber quando utilizá-la Note que aqui nós temos x ao quadrado mais um elevado ao cubo e O interessante é que temos a derivada de x ao quadrado mais um aqui e isso está nos dizendo que nós podemos fazer uma substituição então eu posso chamar essa parte aqui de um rio ou seja o é igual a x ao quadrado mais um e a derivada e em relação a x vai ser a derivada disso aqui que é igual a 2x e se isolarmos deo vamos ficar com de U = 2 x DX Agora sim eu posso substituir aqui e aí eu vou ter a integral eu já vou falar a respeito dos limites de integração disso aqui que nós chamamos de U aí então vai ser a integral de U al cubo e note que nós temos 2 x 2 x aqui que é a mesma coisa que isso portanto nós podemos chamar isso aqui deu e agora que vem o mais importante dessa aula Observe que essa é uma integral indefinida Mas a nossa integral Inicial é definida ou seja ela tem limite a integração e o que fazemos com eles Existem duas maneiras de pensar nisso primeiro você pode mudar seus limites de integração Porque aqui nós temos x igual a 1 e x = 2 + Aqui estamos integrando em relação ao e portanto você deve considerar novos limites de integração para determinar o limite inferior basta você substituir x igual aqui e 1 ao quadrado + 1 = 2 então o inferior vai ser igual a 2 e para determinar o limite superior nós pegamos esse dois e substituímos aqui e 2 ao quadrado da quatro com mais um vai dar cinco então o limite superior dessa integral vai ser igual a cinco é claro que quando você for escrever isso aqui você não precisa colocar o Utah você só precisa colocar um novo limite de integração ou seja escrever como a integral de 2 até 5 de um ao cubo de um é importante saber que nós fizemos essa troca de limites de integração porque agora estamos integrando em relação ao e para realizarmos essa troca basta substituir esses limites de integração nessa expressão e resolvendo essa integral utilizando a regra da potência reversa nós vamos ficar com o elevado a 4 dividido por 4 e eu já vou aplicar O Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo de 2 até 5 Isso vai ser igual a anti derivada em 5 - aad a cada em dois o que significa eu vou pegar esses cinco e substituir aqui no lugar do U ficando com 5 elevado a 4 sobre quatro e vou subtrair pela antes derivada em dois o que significa pegar esse dois e substituir no lugar do U ficando com dois a quarta sobre quatro então devemos resolver isso e encontrar oo podendo substituir aqui para encontrar o x e qual é a segunda maneira nada mais é do que resolver a integral indefinida em termos de x e utilizar a substituição um como intermediária deixa eu escrever isso para ficar mais claro eu vou colocar aqui a integral sem os limites de integração de 2x e multiplica x ao quadrado mais 1 é elevado ao cubo de x e o que eu faço aqui é avaliar essa expressão em x igual a 1 e em x = 2 e para isso eu faço a substituição o aqui e que já foi feita Então nós vamos ter a integral de um ao cubo de ho-oh e vamos avaliar a expressão o intervalo de 1 até 2 e nós já sabemos que integral de uau como deu é igual ao elevado a 4 sobre quatro e nós utilizamos O Teorema Fundamental do Cálculo de 1 até 2 e ao invés de resolver desse mesmo modo nós podemos voltar para a variável x Então o a quarta vai ser a mesma coisa e x ao quadrado mais um elevado a quarta dividido por 4 é feito Lando no lugar de cio eu coloquei x ao quadrado mais um Ou seja eu voltei para a variável xe e nós podemos utilizar O Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral no intervalo de 1 até 2 e se você substituir esses dois valores isso vai dar o mesmo resultado daqui olha só 2 ao quadrado mais um elevado a 4 sobre quatro vai ser 5 elevado a 4 sobre quatro e subtraímos isso substituindo-os x igual a 1 e isso vai ser um ao quadrado mais um elevado a 4 sobre quatro que vai dar 2 elevado a 4 sobre quatro nesses dois casos nós utilizamos substituição mas a diferença é que aqui nós trocamos os limites de integração e aqui não e para não mudar o limite de integração basta nós voltarmos para a variável x e depois utilizar O Teorema Fundamental do Cálculo e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal