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Integração por substituição: integrais definidas

Quando usamos substituição em integrais definidas, devemos ter certeza de que tomamos cuidado com os limites de integração.

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RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender a utilizar a substituição u em integrais definidas. Então, vamos dizer que nós temos uma integral que está no intervalo de 1 até 2 de 2x que multiplica (x² + 1)³ dx. Eu já falei que vou utilizar a substituição u aqui, mas o mais importante é saber quando utilizá-la. Note que aqui nós temos (x² + 1)³, e o interessante é que temos a derivada de x² + 1 aqui. Isso está nos dizendo que podemos fazer uma substituição. Então, eu posso chamar esta parte aqui de u, ou seja, u = x² + 1, e du/dx vai ser a derivada disto aqui, que é igual a 2x. Se isolarmos du, vamos ficar com du = 2x dx. Agora sim eu posso substituir aqui, e eu vou ter a integral... Eu já vou falar a respeito dos limites de integração disto aqui que nós chamamos de u. Então, vai ser ∫ u³. Note que temos 2x dx aqui, que é a mesma coisa que isso. Portanto, podemos chamar isto aqui de du. É agora que vem o mais importante desta aula. Observe que esta é uma integral indefinida. Mas a nossa integral inicial é definida, ou seja, ela tem limites de integração. O que fazemos com eles? Existem duas maneiras de pensar nisso. Primeiro, você pode mudar seus limites de integração, porque aqui nós temos x = 1 e x = 2. Mas aqui estamos integrando em relação a u. Portanto, você deve considerar novos limites de integração. Para determinar o limite inferior, basta você substituir x = 1 aqui. u² + 1 = 2. Então, u inferior vai ser igual a 2. Para determinar o limite superior, nós pegamos esse 2 e substituímos aqui. 2² é 4, mais 1 vai dar 5. Então, o limite superior dessa integral vai ser igual a 5. Claro, quando for escrever isto aqui, você não precisa colocar o u. Você só precisa colocar o novo limite de integração. Ou seja, escrever como ∫ 2 até 5 de u³ du. É importante saber que nós fizemos essa troca de limites de integração porque agora estamos integrando em relação a u. Para realizarmos essa troca, basta substituir esses limites de integração nesta expressão. Resolvendo essa integral utilizando a regra da potência reversa, nós vamos ficar com u⁴ dividido por 4. Eu já vou aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo de 2 até 5. Isso vai ser igual à antiderivada em 5 menos a antiderivada em 2. Significa que eu vou pegar esse 5 e substituir aqui no lugar de u, ficando com 5⁴/4, e vou subtrair pela antiderivada em 2, que significa pegar esse 2 e substituir no lugar de u, ficando com 2⁴/4. Então, devemos resolver isso e encontrar u, podendo substituir aqui para encontrar x. E qual é a segunda maneira? Nada mais é do que resolver a integral indefinida em termos de x, e utilizar a substituição u como intermediária. Deixa eu escrever isso para ficar mais claro. Eu vou colocar aqui a integral sem os limites de integração de 2x que multiplica (x² + 1)³ dx. O que eu faço aqui é avaliar essa expressão em x = 1 e em x = 2. Para isso, faço a substituição u aqui, que já foi feita. Então, nós vamos ter ∫ u³ du. Vamos avaliar a expressão no intervalo de 1 até 2. Já sabemos que ∫ u³ du = u⁴/4, e utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo de 1 até 2. Em vez de resolver desse mesmo modo, nós podemos voltar para a variável x. Então, u⁴ vai ser a mesma coisa que (x⁴ + 1)⁴ dividido por 4. Recapitulando, no lugar desse u, eu coloquei x² + 1. Ou seja, eu voltei para a variável x. Podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral no intervalo de 1 até 2. Se você substituir esses dois valores, isso vai dar o mesmo resultado daqui. Olha só: (2² + 1)⁴ / 4 vai ser 5⁴/4. Subtraímos isso substituindo x = 1. Isso vai ser (1² + 1)⁴ / 4, que vai dar 2⁴/4. Nesses dois casos, nós utilizamos substituição, mas a diferença é que aqui nós trocamos os limites de integração, e aqui não. Para não mudar o limite de integração, basta nós voltarmos para a variável x, e depois utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Eu espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!