Integração por substituição: função racional

RKA3JV - O que nós queremos fazer aqui, neste vídeo, é encontrar a integral da função 4x³ sobre (x⁴ + 7). E eu sei o que você deve estar pensando agora. Como é que eu consigo resolver essa integral? Ela parece ser bem difícil de resolver. Bem, na verdade, isto é só aparência. Porque, na verdade, você pode utilizar um método bem tranquilo, e, com isso, conseguir resolver esta integral. O mistério de resolver esta integral é observar o numerador e o denominador e tentar ver se existe alguma relação entre eles. O segredo deste caso aqui é observar que este numerador é o resultado da derivada desta expressão que está aqui no denominador. Então, se a gente derivar x⁴ + 7 nós vamos encontrar 4x³. Sabendo que existe esta relação, nós podemos utilizar um método chamado método da substituição. Então, a gente vai utilizar este método e vai fazer uma substituição por "u", já que a gente vai utilizar o "u" aqui para fazer a substituição. Na verdade, você pode utilizar qualquer letra, mas é muito comum fazer a substituição por "u". Mas qual dos dois a gente vai fazer essa substituição? Bem, a gente vai substituir a expressão que está embaixo, que está aqui no denominador. Então, nós vamos dizer que "u" vai ser igual a x⁴ + 7. Como eu sei que o que está aqui no numerador é a derivada desta expressão que está no denominador, eu vou derivar este "u". Então, eu vou derivar o "u" e vou derivar esta parte aqui. Aqui, neste caso, em relação a "x". Então, nós vamos ter 4x³. Eu utilizei a regra da potência para fazer esta derivada. Eu coloquei o 4 aqui na frente e subtrai 1 aqui no expoente. 4 menos 1 é igual a 3, vezes "dx". Então, eu derivei este lado em relação a "u" e derivei este lado em relação a "x". Ah, um detalhe! Isto aqui é equivalente a derivar o "u" em relação a "x" e derivar este lado direto em relação a "x". A derivada disso tudo em relação a "x" vai ser igual a 4x³. Note que a é mesma coisa, tudo bem? du = 4x³ dx. Assim como du/dx é igual a 4x³. Qualquer um dos dois está certo, tudo bem? Mas quando a gente for fazer a substituição aqui, é interessante a gente observar algo que já tem o "dx" aqui do lado esquerdo. Na verdade, se você fizer deste jeito, dá no mesmo. Porque apesar disso aqui não ser uma fração, mas se você pensar nisso como uma fração e multiplicar por "dx" dos dois lados, você anularia este "dx" ficando apenas com "du" e ficaria com "dx" aqui do lado direito, que é isso aqui que eu já fiz anteriormente. Então, fazendo isso, a gente já pode utilizar isto aqui para fazer essa substituição aqui em cima. Como? Bem, tudo isso aqui, essa integral vai ser igual à integral de 4x³ dx. Eu vou colocar o "dx" aqui em cima já no numerador, sobre x⁴ + 7. Observe que aqui no numerador eu tenho 4x³ dx, não é? E isto daqui, não é esta parte aqui 4x³ dx? Não é igual a "du"? Então, eu posso fazer uma substituição aqui. Eu posso dizer então que isto aqui vai ser igual à integral de 4x³ dx, mas 4x³ dx é igual a "du". Então, eu vou ter "du" aqui no numerador, sobre alguma coisa que está aqui embaixo. Bem, eu tenho x⁴ + 7 aqui. x⁴ + 7 eu fiz a substituição aqui por "u". Então, eu vou ter du/u. Eu poderia melhorar isto aqui um pouco mais e colocar isso da seguinte forma. Aqui eu vou colocar o 1/u e aqui o "du", porque assim fica mais fácil para a gente visualizar e saber calcular esta integral. E qual vai ser integral de 1/u du? Bem, a gente já sabe que quando tem uma integral dessa forma, isto aqui vai ser igual ao logaritmo natural do módulo de "u", o valor absoluto de "u", mais uma constante, que a gente pode ter tirado aqui no momento que fez a derivada dessa expressão. Beleza, e conseguimos calcular a integral de 1/u du. Agora que a gente calculou a integral, a gente pode substituir novamente o "u" pela expressão que a gente tinha anteriormente. Então, isto vai ser igual ao logaritmo natural de "u", em que "u" é igual a "x⁴ + 7". O valor absoluto de "x⁴ + 7", mais esta constante. Então, essa é uma forma de calcular essa integral, utilizando o método da substituição. Então, perceba que apesar de inicialmente você ter achado que era uma integral "cabulosa", uma integral difícil, no final da história nem foi tão difícil. Basta realizar este método de substituição. Lembrando de perceber se existe uma relação aqui disso que está aqui embaixo com isso aqui em cima, através de uma derivada. E aí, fazendo o método de substituição, a gente consegue calcular a integral. Não esquecendo, claro, de no final voltar aqui para essa expressão anterior. A expressão que a gente fez a substituição inicialmente.