If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Integração por substituição: integral definida de função exponencial

Como calcular a integral definida de 0 a 1 de x²⋅2^(x³). Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

o que eu quero fazer nesse vídeo é calcular a integral definida com os limites de integração indo de 0 até um da função x elevada ao quadrado vezes do elevado à x elevado ao cubo de x quando a gente olha para essa integral logo de cara a gente logo leva um susto e fica perguntando como é que nós podemos resolver isso no entanto você deve se lembrar da função e não é que você está muito acostumado a calcular derivado em relação à x da função e levado à x afinal a derivada de elevado x é o próprio elevado x e você também está muito acostumado a calcular a amt derivada de elevado ache certo afinal antes derivada de elevado xdx é igual ao próprio e levado à x claro mais uma constante então se você já está acostumado com isso é interessante a gente pegar essa parte aqui e fazer uma substituição por algo que tenham e porque assim a gente vai começar a observar isso de uma forma mais parecida com essa e que vai nos ajudar a resolver essa integral mas como eu posso transformar esse dois elevados x ao cubo há algo elevado aí pelas propriedades do logaritmo a gente já sabe que dois vai ser igual a e elevado logaritmo natural de 2 certo já que todas as vezes que a gente tem um elevado ao lnd alguma coisa isso vai ser igual a essa coisa em tão elevado a lnd dois é igual a 2 sendo assim a gente pode dizer que dois é igual aí e levado ao lnd 2 mas a gente ainda tem esse xis elevado ao cubo aqui não é o que nós poderíamos fazer aqui então elevar esses dois lados da equação ao x elevado ao cubo assim nós vamos ter aqui deixa eu colocasse dois só um pouquinho mais para a esquerda para a gente ter mais espaço assim a gente vai ter aqui dois e levado à x elevado ao cubo e esse lado aqui a gente também vai ter se elevado o lnd 2 elevado à x ao cubo e isso vai ser igual ao que a gente vai ter aqui o ele quando alguma coisa que coisa todas as vezes que a gente tenha sln de alguma coisa e levado a outra coisa isso vai ser a mesma coisa que essa coisa que vezes sln então a gente vai ter se elevado à x ao cubo visys o ln o logaritmo natural de 2 então isso é que já é bem mais semelhante com o que nós estamos acostumados a gente pode até fazer uma substituição aqui então vamos calcular essa integral não vamos se preocupar com a parte definido agora com esses limites de integração não tudo bem vamos calcular apenas a integral indefinida por enquanto depois a gente volta que se preocupa com isso então a gente tem que é integral indefinida de x e levado ao quadrado vezes dois ^ x elevado ao cubo de x é igual a integral de x elevada ao quadrado vezes 2 elevado à x elevado ao cubo só que dois elevados x elevado ao cubo é a mesma coisa que esse elevado x ao cubo fez o lnd 2 então a gente pode até colocar isso aqui inclusive eu vou copiar toda essa parte aqui e já colocar logo aqui não podemos esquecer do dx no final certo porém isso daqui ainda fica um pouco confuso para a gente resolver como é que a gente pode resolver se elevado x ao cubo fez o lnd 2 uma forma de fazer isso é utilizando um método de substituição a gente poderia por exemplo substituir tudo isso aqui por um mas será que daria certo sim porque se a gente substituir isso é que puro e derivar a gente vai ter três vezes x elevado ao quadrado viso lnd 2 já que o lnd 2 é uma constante a gente precisa apenas de levar essa parte então nós vamos ter um x ao quadrado de x e que a gente vai poder substituir por esse xis ao quadrado de xis aqui então vamos fazer isso vamos utilizar esse método de substituição a gente vai falar que o vai ser igual à x elevado a 3x ao cubo vezes o lnd 2 aí a gente vai derivar esse de ueda ele vai esse lado em relação à x a gente vai ter que 3 x ao quadrado vezes o lnd 2 the xx a gente pode rearranjar ainda isso daqui e colocar x ao quadrado vezes três vezes o lnd 2d x e lembrando que se a gente tem um número aqui a gente pode colocar ele aqui no expoente desse outro que está dentro do rn então isso daqui vai ser igual à x ao quadrado vezes o lnd 2 elevado ao cubo e 2 elevado ao cubo é igual a 8 nós vamos ter x ao quadrado vezes o lnd 8 isso de x não podemos esquecer do dx é que também não então nós temos esse xis ao quadrado de xis aqui que já temos aqui nessa parte certo a gente já consegue fazer uma substituição por esse deu uma quer dizer quase porque a gente ainda tem que se preocupar com esse lnd 8 aqui ea gente não tem esse lnd 8 aqui mas o que a gente poderia fazer para colocar um lnd 8 ac simples multiplicando dividindo por lnd 8 então a gente vai ter que o lnd 8 dividido pelo lnd 8 aí a gente já vai ter o lnd oito vezes x é um quadrado vezes de x que é igual ao de hu porém sln de 8 que está no denominador pelo fato de ser uma constante a gente pode colocar ele pra fora da integral assim a gente teria um sobre lm de oito vezes a integral de nn de oito vezes x ao quadrado vezes tudo isso aqui de x aí sim a gente pode substituir-se lnd 8x ao quadrado de x pelo deu então isso tudo aqui vai ser igual a 1 sobre o lnd oito vezes a integral de elevado a uepg agora fácil a gente consegue resolver essa integrava que com muita facilidade a integral de elevado o deu é igual a e levado ao mais uma constante então tudo isso vai ser igual a 1 sobre ele e de oito vezes e levado à u mais uma constante inclusive agora a gente já pode substitui esse o pelo que a gente já tinha antes assim toda essa expressão vai ser igual a um sub lnd oito vezes e elevado a u que a x elevado ao cubo viso ln de 2 e isso tudo mais uma constante beleza agora que já calculamos a integral indefinida a gente pode voltar que calculará integral definida com esses limites de integração então vamos copiar essa parte aqui e colocar aqui em baixo pra gente calcular isso lembrando que os nossos limites de integração aqui vai do zero até um então isso vai ser igual a essa integral aqui calculada nesse ponto 1 - essa integral calculada no ponto zero lembrando que a gente pode esquecer dessa constante porque ela vai acabar se anulando quando a gente fizesse a subtração então nós vamos ter apenas aqui um sobre o lnd oito vezes e elevado a um elevado ao cubo e um elevado ao cubo é igual a 1 vezes o lnd dois é igual a lnd 2 - tudo isso calculado no ponto zero então a gente vai ter um sobre o lnd oito vezes e levado a 0 elevado ao cubo vezes lnd dois é igual a zero isso vai ser igual a quanto elevado a lnd dois é igual a 2 e elevado a 0 é igual a um então nós vamos ter 2 sobre lnd 8 - um sobre lnd 8 que é igual a 1 sobre o logaritmo natural de 8 e essa daqui é a resposta da nossa integral definida então é integral definida com os limites de integração indo de 0 a 1 da função x ao quadrado vezes 2 elevado à x elevado ao cubo é igual a 1 sobre o lnd 8