Integração por substituição: função logarítmica

RKA2G - Vamos supor que você tenha a integral indefinida de π sobre "x" vezes o logaritmo natural de "x", vezes dx, onde a expressão "u" igual ao logaritmo natural de "x" vai ajudar nesta antiderivada. Nós temos que du vai ser 1/x vezes dx, pois isso equivale a du/dx = 1/x. Nesta integral, π é uma constante. Portanto, podemos colocar para fora e temos a constante vezes a integral de: 1 sobre o logaritmo natural de "x" vezes "x", vezes dx. Nós podemos colocar isto como sendo: π vezes a integral de "u" é igual ao logaritmo natural de "x". Portanto, fica 1/u, vezes... 1/x vezes dx... du = 1/x vezes dx. Portanto, nós temos 1/x vezes dx = du. E aqui nós podemos pegar a antiderivada. Nós temos π vezes o logaritmo natural do módulo de "u", mais uma constante "c". Desta forma, como "u" é o logaritmo natural de "x", temos que isto equivale a: π vezes o logaritmo natural do módulo do logaritmo natural de "x", mais uma constante. E realmente, se nós tivermos um "x" como se fosse 0,5 ou alguma coisa, nós vamos ter o módulo dele e esta expressão vai valer para tanto o logaritmo que for negativo como o que for positivo. Então, a solução é que esta integral de π sobre "x" vezes log de "x" é π vezes o logaritmo natural do módulo do logaritmo natural de "x", mais "c".