Demonstração do teorema fundamental do cálculo

vamos dizer que nós temos uma função efe que é contínua no intervalo indo de ar até b então se a gente traçar o gráfico aqui dessa função agente teria algo mais ou menos dessa forma a que a gente teria o nosso y aqui a gente teria o nosso eixo t e aqui a gente teria a nossa função em que essa função seria y igual à época de t eu falei que é continuar dentro desse intervalo indo de até de certo então aqui a gente tem o a o ponto a e aqui a gente tem o ponto de nós teríamos o fd aqui e o ft be aqui e aqui teríamos toda essa área baixo dessa curva beleza ok agora que já temos isso daqui vamos fazer o seguinte vamos dizer que a gente tem uma função fdx em que essa função f maiúsculo dx seja igual a integral em do dia até o ponto x qualquer df de tdt ok bem essa daqui a nossa função efe dt certo ea gente está dizendo que esse f maiúsculo dx é igual a integral e nude até um ponto x ggf de tdt onde esse xis está dentro desse intervalo e nude até bem então vamos dizer que a gente tem aqui um ponto xis em que esse xis está dentro desse intervalo a gente escreve isso aqui onde x é maior ou igual a e que é menor ou igual a ab então x está dentro desse intervalo e do dia até ver você poderia ter me dizer agora olha só professor aqui a gente tem que essa integral aqui é anti derivada dessa função não é mas vamos assumir por um pequeno momento que a gente não sabe disso afinal de contas é o que nós estamos querendo demonstrar nesse vídeo por outro lado a gente sabe que essa integral a que corresponde o que a área abaixo da curva em relação a essa função e y igual à efe dt e osso indo do intervalo até xii certo então o resultado dessa integral que corresponde à área e vai de ar até x essa área que certo a partir dessa idéia é que a gente vai chegar à conclusão de que a integral de uma função é igual à sua antiga elevada mas vamos dizer que agora a gente queira calcular a derivada dessa função então a gente vai ter aqui f maiúsculo linha de x sendo igual como é que a gente calcula a derivada pela definição a derivada dessa função é igual ao limite de delta x tendendo a zero de fdx mais delta x - fdx tudo isso / delta x certo então a gente tem que é derivada de uma função é igual ao limite do delta x tendendo a zero de fdx mais delta x - fdx sobre delta x isso aqui vai ser igual ao que vem a gente sabe que o fx é igual a essa integral aqui não é então fdx mais delta x vai ser igual a integrar o chefe de tdt e um do dia até x mas delta x e fx essa própria integral aqui a gente pode até colocar aqui que isso é igual ao limite de delta x tendendo a zero da integral indo de a até x + delta x df de tdt - fdx certo que a integral indo de ata x a gente coloca quem integral em do dia' até x df de t e t tudo isso dividido pelo delta x ok mas o que representa isso é que a gente sabe que é integral de uma função é a área baixo da curva não é como a gente está querendo integrar que de zero até x + delta x e que aqui a gente tem o x então x mas delta x está um pouco à frente do x e antes do b claro tem que estar definido nesse intervalo tudo tem que estar definido nesse intervalo ser contínua nesse intervalo então a gente tem aqui x + delta x então quando a gente calcula integral indo de 0 á x + delta x dessa função efe dt a gente tem toda essa área que que vai desde o até o x + delta x abaixo dessa curva certo então toda essa área verde corresponde ao resultado dessa integral ea gente já viu antes que o resultado dessa integral ecc de tdt hino de até x é essa área azul aqui então quando a gente calcula essa diferença entre essas integrais a gente está pegando toda essa área aqui e tirando essa parte aqui da área então na verdade a gente vai ter essa área que que vai do x até o x + delta x então resultado da diferença entre essas integrais vai nos dar como resposta é essa pequena área que e aí como observamos aqui a gente pode dizer que essa área vai ser igual a integral indo de x a x mas delta x da função ftt então essa área que nós podemos dizer que é igual a integral e de x a x + delta xd efe dt de t logo a derivada dessa função ou seja f maiúsculo linha de x é igual ao limite de delta x tendendo a zero de um sobre delta x vezes a integral em 2d x a x + delta x de efe dt de t essa expressão aqui é muito interessante porque ela lembra alguma coisa ela lembra o teorema do valor intermediário mas o que seria este teorema do valor intermediário o teorema do valor intermediário se escrever isso aqui o teorema do valor intermediário das integrais definidas diz que existe com ser o que seria esse se esse seria um ponto em que estivesse mais ou menos aqui então a gente teria que um ponto se conter e igual a si só que esses e tem que está dentro desse intervalo xx mas delta x a gente vai escrever só que também onde se tem que ser maior ou igual a x e menor ou igual a x mas delta x então você tem que estar definido dentro desse intervalo aqui o teorema do valor intermediário das integrais definidas diz que existe um ciclo está definido nesse intervalo tal que fdc o que seria esse fds bem se a gente pegar que esse ponto se e calcular aqui na função a gente vai encontrar esse fdc aqui certo então aqui vai estar o nosso efe disse que vai encontrar a função nesse ponto então aqui vai estar o nosso ponto cfd se é claro obviamente é que tem uma certa altura e essa altura é igual ao nosso próprio fdc e aqui a gente tem uma base essa base que corresponde a exatamente esse delta x já que a gente tem aqui xfx mas delta x então essa vazão a esse delta x então se a gente pega essa função fdc e multiplica por esse delta x vamos multiplicar aqui delta x fdc vezes delta x a gente vai ter algo igual a área abaixo dessa curva então todas as vezes que a gente pegar nesse ponto se aqui pegar essa função fdc e multiplicar por esse delta x que a base dessa figura formada aqui a gente vai encontrar algo exatamente igual à área baixo da curva nesse intervalo e the xx até x mas delta x e como é que a gente calcula a área baixo dessa curva bem a área baixo dessa curva vai ser igual a integral indo de x até x + delta x da nossa função efe dt de t então é isso que o teorema do valor intermediário diz pra gente diz pra gente que existe esse sector definido nesse intervalo indo de x a x + delta x em que se a gente pegar essa função fdc e multiplicar por essa base que delta x a gente vai encontrar a área abaixo dessa curva nesse intervalo ea área baixo da curva nesse intervalo é igual a integral e no the x até x + delta xdr de tt uma outra forma de escrever esse teor emma do valor intermediário é dizer que fdc é igual a 1 sobre delta x vezes a integral e nude x até x + delta xd efe dt de t se você prestar bem atenção você vai ver que de fato isso é que faz muito sentido porque se você quer essa função a quem que essa função é o valor médio nesse intervalo você vai pegar toda área baixo da curva que é isso aqui e vai dividir pela base que é o delta x assim você vai encontrar essa função fdc que é o valor médio certo e é interessante ver isso porque tudo isso aqui é exatamente igual a essa parte aqui não é assim com isso podemos dizer que é a derivada de f maiúsculo dx vai ser igual ao limite de delta x tendendo a zero de toda essa parte aqui em que tudo isso é igual ao fdc e o motivo de a gente poder fazer isso é exatamente devido a isso aqui em que esses e e está definido nesse intervalo e no the xx até x + delta x então vamos escrever tudo isso aqui vamos escrever que existe um c no intervalo indo de x até x + delta x onde nós temos que a derivada de f maiúsculo dx é igual ao limite de delta x tendendo a zero de fdc já que nesse intervalo in the shins até x + delta x 1 sobre delta x vezes a integral indo de x até x + delta x df de tdt é igual a fdc vamos fazer alguns comentários agora sobre esses limites tudo bem e vamos voltar aqui em cima a gente sabe que se está dentro desse intervalo não é que a gente está querendo calcular o limite quando delta x tende a zero quando delta x tende a 0 a gente está falando que essa barra vertical que está indo para a esquerda certo senso a barra está indo para a esquerda ou seja se aproximando cada vez mais dessa parte azul aqui eo nosso se está dentro desse intervalo o nosso ser também vai se aproximar do x então dessa forma podemos dizer que o nosso c e está atendendo à x ou seja se aproximando de x quando delta x está tendendo a zero ea gente até pode falar isso de forma intuitiva porque se você observar que a medida que essa barra amarela está se aproximando da barra azul ou seja quando x mas delta x está atendendo ao x o nosso sic está aqui no meio também está atendendo ao xx assim à medida que isso ocorre a função fdc também vai atender ao fdx então podemos dizer aqui que o fdc vai tender ao fdx quando delta x está tendendo a zero já que se você está se aproximando do x o fgc também vai se aproximar que o fx certo então se quando delta x tende a zero o setor atendendo à x do fdc está tendendo fdx a gente pode simplesmente dizer que o limite quando delta x tende a zero df de ser mais igual ao nosso fdx ok você vai até de falar agora olha isso daqui é algo intuitivo mas como estamos fazendo uma demonstração será que existe uma forma mais segura de observar isso sem a gente pode utilizar o teorema do confronto dizendo o seguinte que a gente tem aqui o x sendo menor ou igual a uma função se de delta x que é menor ou igual a x + delta x dessa forma que a gente está dizendo que essa função seja de delta x está entre xx mais delta x a gente sabe que o limite de delta x tendendo a zero de x é igual ao próprio x já que os x não depende de delta x então vai ser o próprio x ea gente também sabe que o limite de delta x tendendo a zero de x + delta x se o delta está tendendo a zero o limite de x + delta x vai ser o próprio x bem como a gente tem esse limite é que sendo igual à x esse limite seja igual à x e essa nossa função cd delta x está dentro desse intervalo à medida que isso aqui vai se aproximando do x e esse daqui que é o próprio x a gente tem que o limite disso aqui pra quando delta x tende a zero vai ter que ser igual ao valor dos limites dos dois lados então seu limite do lado esquerdo é igual à x o limite do lado direito é igual à x o teorema do confronto diz pra gente que o limite de delta x tendendo a zero disse de delta x também tem que ser igual ao próprio x é por isso que a gente pode falar que a gente tem um limite de delta x tendendo a zero de fdc e isso vai ter que ser igual ao fdx dessa forma que a gente consegue chegar a essa conclusão e fazer essa demonstração então agora a gente já conseguiu utilizar todas essas idéias para fazer essa demonstração e o que a gente fez aqui a gente pegou uma função coutinho numa efe continuem um certo intervalo definiu uma função que seja integral dessa função continuar indo de a até 1 ponto ou seja um certo intervalo e aí utilizamos a definição de derivada para chegar a essa função fdx com isso a gente conseguiu falar quem é f maiúsculo linha de x ou seja derivada dessa função aqui é igual a fdx com isso nós estamos falando que existe uma função fdx definida e contínua em um certo intervalo em que essa função é igual a derivada de uma outra função ou seja nós estamos praticamente falando que toda a função contínua possui uma antiga elevada em que antes de elevada é igual a integral dessa função claro que antes a gente falava isso aqui de forma intuitiva mas é agora que a gente fez a demonstração disso existe uma coisa muito importante nessa demonstração é por isso inclusive que é chamado de teorema fundamental do cálculo que essas idéias aqui relacionam o cálculo diferencial com o cálculo integral então com isso nós estamos relacionando a ideia de derivada com a ideia de integral e por mais que isso pareça óbvio porque a gente estava utilizando isso a todo momento é devido a todo esse processo que a gente consegue relacionar esses dois cálculos o cálculo diferencial com o cálculo integral então se existe uma função ft que seja contínua em um certo intervalo nós podemos dizer que existe uma anti derivada dessa função em que antes derivada vai nos dizer a área baixo da curva dentro desse intervalo