Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)

RKA22JL - Vamos analisar mais algumas situações de limite com o "x" tendendo a infinito ou menos infinito. Tenho aqui um primeiro exemplo do limite com “x” tendendo a infinito desta expressão maluca: 9x⁷ menos 17x⁶ mais 15 raiz quadrada de x, sobre 3x⁷ mais 1.000x⁵ log₂ˣ. Já que estamos estudando limites no infinito, a chave, como já vimos antes, é verificar que termos dominam os demais no numerador e no denominador. Por exemplo, aqui no numerador 9x⁷, vai crescer muito mais rápido do que os outros dois termos. Então, este é o termo dominante. Da mesma forma, no denominador, 3x⁷ é o termo dominador, ele vai crescer muito mais rápido que os outros dois, que são x⁵ e log₂ˣ. Então, quando o “x” tende a infinito, quando o “x” tem valores muito grandes, esta função pode ser tranquilamente aproximada para 9x⁷ sobre 3x⁷. Então, quando o “x” vai se aproximando do infinito, entre aspas, essas duas expressões se aproximam respectivamente de 9x⁷ e 3x⁷. Então, este limite vai ser igual a este limite aqui, já que podemos simplificar esta expressão, este limite vai ser igual ao limite quando “x” tende a infinito de, simplesmente... x⁷ podemos cancelar e 9/3 sabemos que é exatamente 3, e o limite, quando “x” tende a infinito de 3, é exatamente 3. E esse é o limite com o “x” tendendo ao infinito de toda essa expressão maluca. Vamos fazer a mesma coisa com esta outra função. Temos aqui expressões malucas. O “x” tendendo a menos infinito, mas o mesmo princípio se aplica. Em cada expressão, vamos verificar qual dos termos domina, em termos de valor absoluto, em relação aos demais, pensando em valores absolutos, ou seja, quanto maior a magnitude de “x”, qual dos termos domina em cada uma das expressões. No numerador, domina o 3x³ e, no denominador, os 6x⁴. Então, quando o “x” for um número tendendo a menos infinito, isso tudo será a mesma coisa que o limite, com “x” tendendo a menos infinito, de 3x³ sobre 6x⁴. Simplificando essa expressão, estamos falando do limite com “x” tendendo a menos infinito de 1 sobre 2x. E o que isso vai nos dar? Se o “x” fosse um número muito, muito, muito grande, tendendo a infinito, o denominador desta expressão também vai para infinito e teremos 1 sobre infinito, o que tende a zero, ou seja, 1 dividido por um número muito grande resulta num valor tão pequeno que tende a zero. Por outro lado, se o “x” for tendendo a menos infinito, este mesmo raciocínio se aplica já que, mesmo sendo negativo, se o módulo de “x” é muito grande, teremos 1 dividido por um número muito negativo, entre aspas, e o resultado é um valor próximo de zero, ou seja, tende a zero. Neste caso, temos uma assíntota horizontal em “y” igual a zero. Sugiro que você construa um gráfico para esta função e tente observar isso sozinho. A ideia principal aqui é simplificar o problema observando que termos vão dominar o resto tanto no numerador quanto no denominador. Vamos para esta terceira. Qual é o limite da função definida por esta expressão quando “x” tende a infinito? Vamos analisar novamente no numerador e no denominador quais são os termos dominantes. O numerador é uma expressão polinomial e o termo de maior grau é o 4x⁴, do mesmo jeito, no denominador, o 250x³ domina. Então, isso fica equivalente a calcular o limite quando o “x” tende a infinito de 4x⁴ sobre 250x³. Simplificando, x⁴ pelo x³, dá somente “x”, temos o limite de 4 sobre 250x, com “x” tendendo a infinito. Podemos também pensar como 4/250 vezes o limite de “x” quando “x” tende ao infinito. Ora, o limite, quando o “x” tende a infinito de “x”, é o “x” crescendo infinitamente, então, é infinito vezes um outro número. Isso vai ser igual a infinito, entre aspas, ou seja, tende a infinito. Observe que este resultado era esperado ao examinarmos que o numerador é um polinômio de quarto grau enquanto o denominador é um polinômio de terceiro grau. Isso nos permite concluir que o numerador vai crescer de uma maneira muito mais rápida que o denominador quando o “x” tende a infinito. Logo, “x” tendendo a infinito faz com que essa expressão toda também tenda ao infinito. Por outro lado, nesta segunda expressão acontece o contrário. O numerador vai crescendo mais devagar que o denominador. Portanto, o denominador crescendo muito mais rápido faz com que tenhamos um número menor dividido por um número muito maior e, portanto, tendendo a zero no resultado. É isso aí, até o próximo vídeo!