Limites de funções combinadas

RKA4JL - Vamos encontrar o limite de f(x) vezes h(x) quando x tende a zero. Nós temos aqui os gráficos das duas funções, f(x) e h(x). Agora, usando as propriedades dos limites, isto que temos de calcular será igual ao limite de f(x), quando x tende a zero, vezes o limite de h(x) quando x tende a zero. Vamos olhar primeiro para o limite de f(x) quando x tende a zero. Observe que f(x) não está definida para quando x vale zero, mas podemos ver que quando nos aproximamos de zero, para o valor de x pela esquerda, a função tende a um valor que dá para perceber que é -1. Da mesma forma, ao nos aproximarmos de zero para valores de x maiores que ele, ou seja, pela direita, percebemos que f também tende a -1. Então o limite de f(x), quando x tende a zero, é -1, porque os limites à esquerda e à direita são iguais e valem -1. Vamos para h. Primeiro observe que quando x vale zero, a função h está definida, e quando x vale zero, h vale 1. Observe que o limite com x tendendo a zero para o h(x) também vale 1. Isso porque, com x se aproximando do zero pela esquerda, o valor de h tende a 1 e quando x se aproxima de zero pela direita, o valor de h também tende a 1. Então o limite com x tendendo a zero para h(x) é 1. Observe que na função h o limite de x tendendo a zero dá o mesmo resultado que o valor do h quando x vale zero porque é uma função contínua, e os limites à esquerda e à direita são iguais, a função está definida naquele ponto. Enfim, o limite de h(x) quando x tende a zero é 1 e multiplicando os dois temos -1, ou seja, o limite de f(x) vezes h(x), com x tendendo a zero, é -1. Vamos a outro exemplo. Neste outro exemplo podemos ver que temos funções contínuas. Queremos o limite de h(x) sobre g(x) quando x tende a zero. Usando as propriedades dos limites, nós podemos concluir que o limite pedido é igual ao limite de h(x) quando x tende a zero dividido pela limite de g(x) quando x tende a zero. Então vamos estudar esses limites para h(x). Quando x tende a zero pela esquerda, o valor do h tende a 4. Se fizermos isso pela direita, o valor de h também tende a 4, e então o limite de h(x) quando x tende a zero é 4. Observe que, novamente, nós temos um valor do limite que é o mesmo do valor da função naquele ponto, porque os limites à esquerda e à direita com x tendendo a zero resultam em 4 e a função está definida para quando x vale zero. Então esse limite é 4. Vamos ver o outro limite de g(x) quando x tende a zero. Quando x tende a zero pela esquerda, a função, o g, tende a zero e quando x tende a zero pela direita, o valor de g também tende a zero. Então o limite de g(x), quando x tende a zero, é zero. Observe que também é o valor da função quando x vale zero, porque é uma função contínua nesse ponto. Então esse limite do g(x) é zero, mas agora nós deveríamos fazer 4 dividido por zero para encontrar o limite de h sobre g. Isso nos leva à conclusão de que o limite de h sobre g quando x tende a zero não existe, porque ele dependeria de fazermos 4 dividido por zero. Impossível. De fato, se fizéssemos o gráfico de h(x) dividido por g(x), verificaríamos que esse limite não existe. Até o próximo vídeo!