If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Teorema para limites de funções compostas: quando as condições não são satisfeitas

Suponha que estejamos procurando pelo limite da função composta f(g(x)) em x=a. Esse limite seria igual ao valor de f(L), sendo L o limite de g(x) em x=a, sob duas condições. A primeira, que o limite de g(x) em x=a exista (e, se sim, digamos que ele seja igual a L). A segunda, que f seja contínua em x=L. Se uma dessas condições não for satisfeita, não podemos considerar que o limite é f(L). Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

  • Avatar blobby green style do usuário Cristiano Rodrigues
    No início do vídeo (), foi dito que em vídeos anteriores falou-se a respeito do teorema para limites de funções compostas, só que os vídeos anteriores não falam. Estive a dar uma olhada no vídeo original em inglês e é suposto ele ter falado sobre esse teorema neste vídeo. Apesar de o teorema ser fácil de entender mesmo a partir deste vídeo, gostaria de saber se existe algum vídeo que estou perdendo.
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Em aulas passadas, nós já vimos esse teorema aqui, que é o teorema de limites para funções compostas, e, nesta aula, nós vamos fazer alguns exemplos. Para isso, vamos calcular o limite de f(g(x)) quando o x tende a zero. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, a primeira coisa que temos que descobrir é o limite de g(x) quando o x tende a zero, para ver se atende essa primeira condição aqui. Para isso, olhamos para o gráfico de g(x). Quando vamos nos aproximando de zero pela esquerda, parece que a função vai se aproximando cada vez mais de 2, e, quando nos aproximamos do zero pela direita, parece que a função também está se aproximando de 2. Por isso, o limite de g(x) quando o x tende a zero é igual a 2. Então, a primeira condição é válida. Agora, vamos ver se essa segunda condição é atendida, ou seja, será que f é contínua nesse limite? Quando o x é igual a 2, note que a função não é contínua. Isso porque esse ponto aqui não está na reta, está aqui em cima. Você não conseguiria desenhar essa parte do gráfico sem retirar a caneta do papel. Com isso, essa segunda condição não é atendida. Portanto, não podemos aplicar diretamente esse teorema, mas não poder aplicá-lo não significa que o limite não exista. E, nesta situação, inclusive, o limite existe. E como podemos determiná-lo? Veja bem, à medida que nos aproximamos de zero pela esquerda, parece que a função se aproxima de 2 por cima, e utilizamos essa entrada em f. Se estamos nos aproximando de 2 por cima, ou seja, nos aproximando através de números maiores do que os 2, significa que, na função f, estamos nos aproximando dele por aqui. E quando fazemos isso, parece que a nossa função está se aproximando de zero. E se pensarmos no outro caminho? E se nos aproximarmos de zero pela direita? Note que a função está se aproximando de 2 por baixo, ou seja, se aproximando de 2 com valores menores. E se colocarmos esses valores como entrada em f, nós vamos nos aproximar de 2 pela esquerda e, de novo, parece que a função vai se aproximando de zero. Lembrando que estamos nos aproximando de zero e não o colocando. Quando for zero, vamos ter esse valor e isso nos diz que, em ambos os cenários, o limite vai ser o mesmo, ambos estão se aproximando do zero. Eu não pude utilizar o teorema, não é? Mas conseguimos descobrir que o limite de f(g(x)), quando o x se aproxima de zero, é igual a zero. E se quiséssemos descobrir o limite de f(g(x)) quando o x tende a 2? Qual seria? Eu sugiro que você pause vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então. A primeira coisa é ver se conseguimos utilizar o teorema, e isso significa que devemos calcular o limite de g(x) quando o x tende a 2. E olhando o gráfico de g, podemos nos aproximar do 2 pela esquerda e conseguimos perceber que a função vai se aproximando do -2. Agora, quando nos aproximamos do 2 pela direita, parece que a função está se aproximando do zero, ou seja, os limites de laterais são diferentes e, por causa disso, esse limite não existe. Portanto, essa condição não foi atendida, mas, como vimos, não atender as condições do teorema não significa que o limite da função composta não exista. E eu deixo como exercício você tentar provar que esse limite não existe, utilizando uma análise semelhante a essa. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!