Séries infinitas como o limite de somas parciais

RKA4JL - Vamos dizer que temos uma série infinita S de modo que a soma de n é igual a 1 para o infinito de aₙ. Poderíamos escrever a₁ mais a₂ mais a₃ até o infinito. Nós vamos continuar e continuar para sempre. Então vamos dizer que eu escrevi isso aqui em termos de... Em termos muito gerais. Vamos dizer que temos uma fórmula para somas parciais de S. Sabemos que Sₙ é (2 vezes n³) 3 sobre ((n + 1) vezes (n + 2)). Agora minha pergunta para você é: com base no que eu acabei de dizer, S é escrito de uma forma muito geral de uma série infinita, mas eu tenho uma soma parcial, a soma dos primeiros n termos de S. A soma dos primeiros n termos de S é dada pela fórmula bem aqui. Essa série converge ou diverge? Será que essa coisa converge para algum valor finito? Ou não, ela é ilimitada e diverge? Uma maneira de pensar sobre isso é ideia de que a nossa série infinita S é apenas o limite quando n aproxima do infinito das nossas somas parciais. Mas o que isso significa? Você poderia ter uma sequência de somas parciais aqui. Você tem s₁, s₂, s₃ e poderia continuar isso até a soma dos primeiros termos que você deseja. Essa seria a soma do primeiro termo, essa seria a soma dos dois primeiros termos, essa seria a soma dos três primeiros termos e podemos continuar pensando que isso acontece em sequência até n termos aproximando do infinito porque é isso que uma série é: a soma de tudo. Você tem um número infinito de termos aqui. Vamos pensar sobre isso. O limite é n, se aproxima do infinito da soma n. Isso vai ser o limite de n aproximando de infinito desse negócio bem aqui, (2 vezes n³) sobre ((n + 1) vezes (n + 2)). Há várias maneiras como você poderia avaliar isso. Uma maneira é que você poderia simplesmente falar: "Olhe isso, vai ser um polinômio de segundo grau e aqui você tem um de terceiro grau, de modo que o numerador vai crescer mais rápido que o denominador e por isso este vai ser ilimitado”. Então poderemos dizer imediatamente que S vai divergir. Se quiser trabalhar um pouco mais com essa expressão, você pode usar um pouco mais de álgebra. Isso aqui vai ser igual ao limite de n aproximando do infinito de (2 vezes n³) sobre (n² mais 3n mais 2). Vamos poder dividir o numerador e o denominador por n². Esse vai ser o limite n aproximando do infinito, o numerador por n² você vai ter, na verdade... Vamos dividir... Vamos dividi-lo por n². Se dividir o numerador por n² vai ser igual a 2n e em seguida dividir por (1 mais 3/n mais 2/n²). Quando você olha para a expressão e vê como ela está, percebemos que quando n se aproxima do infinito isso aqui vai se aproximar do infinito, mas o denominador aqui embaixo vai tender a zero. Isso vai fazer com que o denominador vá para 1, então essa coisa toda vai tender ao infinito. Se a soma dos primeiros termos tende ao infinito, significa que essa série vai ser infinita. Logo, a soma não vai ser um valor finito, então esse somatório diverge. Para que houvesse convergência, essa coisa deveria ter algum valor finito. Então, espero que isso faça sentido. Tudo o que dissemos foi que nós tivemos uma fórmula para a soma parcial dos primeiros n termos e então dissemos: "Olhe! A própria série, a série infinita, você pode ver como um limite quando n se aproxima do infinito; é a soma parcial de Sₙ”. Então essa soma parcial tende ao infinito e essa coisa é divergente.