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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 11: Cálculo da aproximação polinomial de funções de Taylor- Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 1)
- Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 2)
- Exemplo resolvido: polinômio de Maclaurin
- Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Maclaurin
- Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Taylor.
- Polinômios de Taylor e Maclaurin
- Visualização de aproximações de polinômios de Taylor
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Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Maclaurin
Cálculo do coeficiente do termo x² em um polinômio de Maclaurin, dada a fórmula para o valor de qualquer derivada em x=0.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - A enésima derivada
de "g" elevado a "x" quando "x" é igual a zero
é dado por: g⁽ⁿ⁾(0) vai ser igual à raiz de
n + 7, sobre n³, para "n" maior
ou igual a 1. Qual é o coeficiente
para o mesmo termo contendo x² na série
Maclaurin de "g"? Vamos apenas pensar sobre
a série Maclaurin para "g". Se eu fosse para ter
minha função g(x), a série Maclaurin eu poderia
dizer aproximadamente igual a: se eu não listar todos
os termos, vai ser igual a: g(0) + g'(0)x
+ g''(0) sobre 2 (eu poderia dizer 2 fatorial, mas
isto é apenas 2; é a mesma coisa) vezes x². Isto é o mais longe
que nós vamos, porque só temos que pensar
sobre o que é o coeficiente para o termo
contendo x². Se eles dissessem que queriam
o coeficiente contendo x³, então, nós adicionaríamos
um terceiro termo, que seria g'''(0)
sobre 3 fatorial. Todos aqui embaixo
são fatorial, então, poderia ser 2 fatorial,
1 fatorial e 0 fatorial, só para você ver que existe
uma ideia consistente aqui. Eu poderia, é claro,
seguir em frente. mas eles só estão nos
perguntando qual é o coeficiente contendo o x²
na série Maclaurin. Então, o que nós
precisamos descobrir é isso. Para saber isso, precisamos descobrir
o que é a segunda derivada de "g" avaliado
quando x = 0. Bem, eles nos dizem que aqui
é um pouco não convencional, onde eles nos dão uma fórmula,
uma fórmula geral, para qualquer derivada
avaliada em x = 0. Mas isso é o que
eles estão nos dando. Portanto, neste caso,
"n" não é zero. "n" é a derivada que nós estamos tomando,
que, para ser nossa segunda derivada, de modo que este é, se eu estou
tentando descobrir a segunda derivada, eu poderia escrever
assim, que avaliou o zero. Ou eu poderia
escrever assim. Só assim a notação
é consistente. E eu poderia escrever
desta forma. A segunda derivada
avaliada de x = 0. Bem, o nosso
"n" é 2. Assim que esta vai ser a raiz
quadrada de 2 + 7, sobre 2³. 2 + 7 é 9, então, vamos
fazer a raiz quadrada. A raiz quadrada disso
vai dar 3, sobre 2³, que é 8. Então, esta parte
bem aqui é 3/8. Assim, todo o
coeficiente vai ser 3/8, que é este numerador
dividido por 2, que naturalmente
é igual a 3/16. Eles não querem que a gente
descubra um par de termos deste que poderíamos chamar
de polinômio Maclaurin, e enésimo grau
polinomial Maclaurin. Eles não querem que a gente
encontre todos os valores para a série, continuar com
esta série. Eles só queriam que a gente
encontrasse este coeficiente aqui. É o coeficiente do segundo grau,
que nós descobrimos: é 3/16.