Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Maclaurin

RKA2JV - A enésima derivada de "g" elevado a "x" quando "x" é igual a zero é dado por: g⁽ⁿ⁾(0) vai ser igual à raiz de n + 7, sobre n³, para "n" maior ou igual a 1. Qual é o coeficiente para o mesmo termo contendo x² na série Maclaurin de "g"? Vamos apenas pensar sobre a série Maclaurin para "g". Se eu fosse para ter minha função g(x), a série Maclaurin eu poderia dizer aproximadamente igual a: se eu não listar todos os termos, vai ser igual a: g(0) + g'(0)x + g''(0) sobre 2 (eu poderia dizer 2 fatorial, mas isto é apenas 2; é a mesma coisa) vezes x². Isto é o mais longe que nós vamos, porque só temos que pensar sobre o que é o coeficiente para o termo contendo x². Se eles dissessem que queriam o coeficiente contendo x³, então, nós adicionaríamos um terceiro termo, que seria g'''(0) sobre 3 fatorial. Todos aqui embaixo são fatorial, então, poderia ser 2 fatorial, 1 fatorial e 0 fatorial, só para você ver que existe uma ideia consistente aqui. Eu poderia, é claro, seguir em frente. mas eles só estão nos perguntando qual é o coeficiente contendo o x² na série Maclaurin. Então, o que nós precisamos descobrir é isso. Para saber isso, precisamos descobrir o que é a segunda derivada de "g" avaliado quando x = 0. Bem, eles nos dizem que aqui é um pouco não convencional, onde eles nos dão uma fórmula, uma fórmula geral, para qualquer derivada avaliada em x = 0. Mas isso é o que eles estão nos dando. Portanto, neste caso, "n" não é zero. "n" é a derivada que nós estamos tomando, que, para ser nossa segunda derivada, de modo que este é, se eu estou tentando descobrir a segunda derivada, eu poderia escrever assim, que avaliou o zero. Ou eu poderia escrever assim. Só assim a notação é consistente. E eu poderia escrever desta forma. A segunda derivada avaliada de x = 0. Bem, o nosso "n" é 2. Assim que esta vai ser a raiz quadrada de 2 + 7, sobre 2³. 2 + 7 é 9, então, vamos fazer a raiz quadrada. A raiz quadrada disso vai dar 3, sobre 2³, que é 8. Então, esta parte bem aqui é 3/8. Assim, todo o coeficiente vai ser 3/8, que é este numerador dividido por 2, que naturalmente é igual a 3/16. Eles não querem que a gente descubra um par de termos deste que poderíamos chamar de polinômio Maclaurin, e enésimo grau polinomial Maclaurin. Eles não querem que a gente encontre todos os valores para a série, continuar com esta série. Eles só queriam que a gente encontrasse este coeficiente aqui. É o coeficiente do segundo grau, que nós descobrimos: é 3/16.