Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 1)

RKA8JV - Nós temos aqui, o gráfico de uma função f(x) qualquer. Mesmo sem conhecer quem é essa função f(x), eu quero aproximar essa função f(x) usando polinômios. Acrescentando cada vez mais termos a esse polinômio, de modo que esse polinômio seja o mais próximo possível dessa função f(x). Para isso, eu vou assumir que eu sei algumas coisas. Digamos que a gente saiba calcular o valor da função "f" quando "x = 0", ou seja, que eu conheça f(0). Além disso, eu vou querer, também, saber calcular a derivada primeira, a derivada segunda, a derivada terceira e assim por diante, quando "x = 0". Ou seja, eu estou supondo que eu conheça o valor de f(0), que eu conheça o valor de f'(0), que eu conheça o valor f"(0), que eu conheça o valor f'''(0) e assim sucessivamente. Vamos pensar então em como a gente pode aproximar essa função usando polinômios com uma quantidade de termos cada vez maior. Vamos supor que esse polinômio tenha apenas um termo, e que esse termo seja uma constante. Bom, nesse caso a gente tem, então, um polinômio de grau zero. Seria interessante se a gente tivesse que essa constante fosse igual ao valor da função aplicado em "x = 0", ou seja, que esse polinômio fosse igual a uma constante e essa constante fosse f(0). Assim, o que a gente quer aqui é que a gente tenha P(0) = f(0), em que "P" aqui é o polinômio que a gente quer construir. Então a gente quer aplicar o polinômio no ponto zero e a gente quer que dê igual à função ao aplicada em zero. Mas como esse polinômio aqui é de grau zero, é igual uma constante, a gente vai definir esse polinômio como P(x) = f(0). Vou desenhar aqui o gráfico desse polinômio. P(x) = f(0). P(x) = f(0), então P(x) é uma constante. O gráfico de polinômio constante é uma reta horizontal aqui passando em f(0), tá? Você vai dizer assim: "poxa, mas essa aproximação ficou muito ruim". Realmente essa aproximação ficou muito ruim. A gente tem aqui que a função e o polinômio são iguais em "x = 0". A gente pode até acertar um ponto aqui para frente ou outro aqui para trás, mas assim, é por sorte mesmo. Aqui a gente não vai ter assim. A maioria dos valores de "x", o polinômio e a função batendo um com o outro. Entretanto, assim como a linha é horizontal, isso aqui é o melhor que eu consigo fazer. Pelo menos no valor que a gente queria, que a "x = 0", a gente tem o polinômio nome e a função tendo o mesmo valor f(0) aqui, tá? Embora isso aqui não pareça uma constante, f(0) é uma constante, é o valor da função "f" aplicado em ''x = 0". Quando eu calculo a função ''f" em "x =" 0", eu vou ter um número aqui, e não importa quem é esse número, eu defino P(x) igual a esse número. Aí o gráfico vai ser uma reta horizontal aqui, aqui passando neste numerozinho f(0). Mas é evidente que isso aqui não ficou uma boa aproximação. Então, vamos colocar mais restrições, para ver se a gente consegue uma melhor aproximação que esta. Então além de ter P(0) = f(0), obviamente, a gente não quer perder isso aqui, né, vamos pedir também para a gente ter P'(0) = f'(0), ou seja, o que a gente quer aqui é que a gente tenha derivada primeira do polinômio em zero e seja igual à derivada primeira da função em zero, sem perder essa informação aqui, P(0) = f(0). Então, se a gente colocasse o nosso polinômio P(x) assim, vamos definir P(x) = f(0), e aí eu estou pegando o velho polinômio P(x), do jeito a gente que a gente definiu antes, mais a f'(0) vezes "x". Vamos analisar aqui como é que ficaria neste caso. Bom, olha só. Se este aqui vai ser o nosso polinômio, então, como é que ficaria aqui P(0)? Ou seja, se eu trocar o "x" por zero, como vai ficar o nosso polinômio? Bom, aqui é f(0), continua f(0), uma constante, e aqui, quando eu fizer f'(0) vezes "x", não importa quem é f'(0), mesmo que eu não conheça, eu vou colocar o "x = 0". Então, isso aqui vai ser um número qualquer multiplicado por zero, isso não vai aparecer. Então, a gente já tem aqui o que a gente queria, que é P(0) = f(0). Conseguimos com este nosso novo polinômio. Agora vamos ver o que acontece com P'(x). Quando a gente vai derivar aqui o polinômio, este pedaço aqui é uma constante, e a derivada de uma constante é zero. Então, este pedaço aqui vai dar zero. Agora, este pedaço aqui, a gente tem o coeficiente vezes o "x", ou uma constante vezes "x". Quando eu derivo "x", aqui vezes uma constante, isso vai sobrar só a própria constante, vai ficar e f'(0). Então aqui, a gente tem que a derivada do nosso polinômio em "x" vai ser f'(0), ou seja, ele vai ser um valor constante para qualquer valor de "x". Então quando eu fizer P', avaliado no zero, se eu colocar o "x = 0", eu vou ter que P'(0) = f'(0), o que eu queria que acontecesse. Então mesmo que eu não conheça aqui, estou assumindo que eu sei calcular a derivada primeira aqui da função em zero, então, eu sei que isso aqui vai ser um valor constante, esse aqui é um valor constante, então, eu vou ter que P'(0) = f'(0). E o mais legal deste polinômio que a gente tem aqui é que este polinômio tem dois termos, um termo aqui de grau zero e um termo de grau 1, e quando "x = 0", esse polinômio tem o mesmo valor que a função. Além disso, a gente tem aqui a derivada dele também, é igual, quando "x = 0", ou seja, a gente tem a mesma inclinação do polinômio e da função quando "x = 0". Se a gente desenhar aqui o gráfico deste polinômio de grau 1, a gente vai ter que mais ou menos esse gráfico vai ser uma coisa desse tipo aqui. Vai ser aqui parecido com a reta tangente à função "f" quando "x = 0". Então, aqui, quando eu estou tomando valores próximos de "x = 0", aqui a gente tenha a mesma direção do polinômio e da função, então, a gente já me deu uma melhorada em relação à reta horizontal que a gente criou no polinômio anterior, mas ainda assim, não é uma aproximação muito boa. Então, se a gente conseguir pedir todas essas restrições que a gente já tem até agora e adicionar mais a derivada segunda também igual quando "x" for zero, aí a gente vai conseguir uma aproximação melhor ainda. Mas antes, até para a gente não se perder, vamos chamar este polinômio aqui como a nossa primeira tentativa, tentativa número 1. Já este polinômio aqui, foi a nossa segunda tentativa, então, vamos colocar aqui, a nossa segunda tentativa. E aí a gente vai tentar aqui agora a nossa terceira tentativa. Se a gente colocasse aqui no nosso polinômio P(x), vamos colocar este polinômio P(x) igualzinho, os mesmos termos que a gente usou no polinômio anterior, então vamos colocar f(0) + f'(0)x. Aqui agora a gente vai acrescentar um novo termo, e esse novo termo eu vou até colocar de cor diferente, +1/2 vezes f"(0)x². Bom, já já você vai ver por que a gente colocou este 1/2 aqui. Quando eu fizer a derivada segunda, você vai entender o porquê do 1/2. Agora vamos ver aqui se o nosso polinômio "P" e as suas derivadas quando "x = 0" atendem às nossas restrições. Vamos calcular aqui o que seria P(0), né. Vamos colocar no lugar do ''x", o zero. Então, isso aqui vai ficar f(0), que é uma constante, e aí ficaria "x = 0", este pedaço aqui some, porque você vai multiplicar por zero, e aqui, "x = 0", zero ao quadrado é zero, também faz este pedaço aqui sumir. Portanto, a gente tem aqui a nossa primeira condição satisfeita, P(0) = f(0). Vamos agora procurar o nosso polinômio P'(x). Vamos calcular ele aqui, P'(x). Vamos pegar a derivada desse polinômio. O que seria P'(x)? Vamos derivar aqui. Derivada de constante é zero, então, este pedaço vai sumir. Derivada de uma constante vezes "x" é a própria constante, então, eu vou ter f'(0) mais, agora este pedaço aqui, a gente vai fazer aqui a regra tombo, a gente vai derivar um polinômio de segundo grau, o que vai acontecer? Este 2 vai cair aqui, e aí como a gente já tem 1/2 aqui, esse 2 que caiu vai dividir por 2, vai ficar 1. Então, vai dar f"(0). E aí aqui, a gente vai fazer diminuir este expoente em 1, então se era x², isso aqui vai ficar x¹. E aí dá para entender por que a gente colocou aquele 1/2 aqui, né. A gente colocou o 1/2 para não ter aquele 2 aparecendo aqui agora como coeficiente. Se eu não colocasse o 1/2, esse 2 que caiu ia ficar aparecendo aqui, então, para evitar isso, a gente colocou o 1/2. Como é que fica aqui P' quando a gente tem o "x = 0". Vamos então calcular aqui P'(0). Bom, P', quando o "x = 0", vai dar é f'(0), já que isso aqui é uma constante e não depende de "x", e aqui eu vou ter "x = 0", então este pedaço vai sumir. Então eu vou ter P'(0) = f'(0), que é o que eu queria. Bom, vamos tentar agora calcular a nossa derivada segunda aqui. Vamos ver se a gente consegue calcular P''(x). O que seria a nossa derivada segunda? Vamos lá. Quando a gente vai fazer a nossa derivada segunda aqui, a gente vai fazer a derivada da derivada primeira. Então, a gente vai derivar aqui, f'(0) é uma constante, isso vai sumir, e aqui a gente vai ter uma constante vezes "x". A derivada de uma constante vezes "x" é a própria constante, então, a gente vai ter f" igual a zero. Portanto, a gente tem aqui que a nossa derivada segunda também vai ser um valor constante, f''(0). E aí, se a gente aplicar este valor aqui da derivada segunda desse nosso polinômio em "x = 0", a gente vai ter o seguinte. Então o que vai dar P''(0)? Quando a gente coloca zero aqui, não importa, para qualquer valor de "x", este valor é constante, isso vai dar f''(0), e aí a gente tem as três condições que a gente queria. P(0) = f(0), P'(0) = f'(0) e P''(0) = f"(0). Então, esse polinômio é igual à função quando "x = 0", a derivada primeira dele é igual à derivada primeira da função quando "x = 0", e a derivada segunda dele é igual à derivada segunda da função quando "x = 0", a gente conseguiu as nossas restrições. Já estamos ficando bons nisso aqui, dá até para perceber um padrão conforme a gente vai adicionando novos termos, a gente vai tendo um controle para não perder aquilo que a gente já tinha e garantir que a gente vai ter a derivada de ordem "n" no polinômio quando "x = 0" igual à derivada de ordem "n" na função quando "x = 0". Em geral, você pode continuar adicionando termos para o seu polinômio. Na verdade, se você tiver tempo, você pode colocar quantos termos você quiser. Vamos tentar, então, escrever esse polinômio de aproximação. Como ficaria o polinômio P(x), meu polinômio de aproximação. Bom, o primeiro termo deste nosso polinômio seria um termo constante, então, este termo seria f(0), mais o nosso segundo termo, seria f'(0), vezes "x", que seria o termo de grau 1, mais, o próximo termo ficaria f'(0) vezes 1/2 vezes x², aqui eu só inverti a ordem destes dois, repare que não muda nada, já que é um produto, uma multiplicação. Mas como ficaria o nosso próximo termo? O nosso próximo termo seria f'''(0) vezes 1 sobre, aqui vai aparecer um 3 e um 2 vezes x³. Por que vai aparecer este 3 aqui a mais? Bom, quando eu derivar este cara aqui de ordem 3, pela regra do tombo, este 3 vai cair, aí eu vou cortar o 3 com 3 e aqui vai sobrar um x². Quando eu fizer a derivada de novo deste termo, vai cair o 2 pela regra do tombo, vai cortar o 2 com o 2 e aqui vai ficar igual "x = 1". Portanto, aqui eu não crio um coeficiente indesejado. Desta forma a gente consegue se livrar deste problema. E a gente pode continuar isso aqui, se a gente quiser também que a derivada quarta do polinômio coincida com a derivada quarta da função em "x = 0", a gente vai vir aqui e acrescentar mais um termo aqui. Então eu virei aqui, e acrescentarei mais f'''', a derivada quarta da função "f(x) = 0" vezes 1/4 vezes 3 vezes 2 vezes x⁴. E dá para você mesmo verificar que a derivada quarta desse polinômio em "x = 0" é igual à derivada quarta da função "f(x) = 0". Se a gente quiser, a gente pode até continuar aqui acrescentando mais termos, e a gente teria aqui um termo genérico na posição "n", seria derivada de ordem "n" em "x = 0" vezes 1/n! vezes xⁿ. Ah, ele mas porque 'n!'? Bom, repare que aqui a gente usou 4!. 4! é 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. Ah, mas o 1 não está aparecendo. A gente não precisa escrever o 1, já que o 1 não muda nada na multiplicação. Então aqui também, pode pensar que aqui tem um 1, então, isto aqui é 3!, aqui também a gente pode pensar que tem o 1, 2 vezes 1, então isso aqui seria 2!. Aqui teria embaixo desse cara, 1!, que é 1, não preciso escrever, aqui, embaixo desse cara, teria 0!, que é 1 também, e aí eu também não preciso escrever. Então a somatória de todos esses termos aí, esta série, é conhecida como série de MacLaurin. Essa série, a gente pode utilizá-la para aproximar polinômios, como a gente viu aqui. Na verdade, a gente tem outros resultados que são até mais fortes, que a gente vai ver depois. Bom então o que está acontecendo aqui é que se a gente tentar aproximar utilizando um polinômio de grau zero, a gente vai aqui um polinômio constante, então, a reta, o gráfico dele, vai ser uma reta horizontal, passando por f(0). Se eu quiser aumentar aqui o grau do meu polinômio, acrescentando um termo, aí eu já vou ter aqui que a reta vai ser mais ou menos como isso aqui, a reta tangente aqui à função "f" em "x = 0". Se a gente quiser acrescentar mais termos ainda, a gente consegue aumentar o grau do polinômio e a curva do do nosso polinômio poderia ser uma coisa mais ou menos assim, tá? A gente pode acrescentar ainda mais. Se eu acrescentar aqui, eu vou aumentar o grau de novo, e a gente teria curva do nosso polinômio mais ou menos algo desse tipo assim. Bom, de fato, se você continuar aumentando os termos, você vai perceber que pelo menos nessa proximidade aqui de "x = 0", o gráfico do polinômio e da função vão ficar muito parecidos. Em teoria, se você colocar infinitos termos aí, estou dizendo em teoria porque a gente não provou, mas se a gente utilizar infinitos temos, a gente vai ter a curva desse polinômio, praticamente se aproxima muito bem aqui da curva do gráfico da função ''f". E só para você saber, a série de MacLaurin é um caso particular da série de Taylor, quando a gente usa o centro igual a zero. Na verdade, na série de Taylor, você pode usar o centro aqui e qualquer valor de "x". Na série de MaLaurin aqui, que é o nosso foco, a gente vai usar o centro igual a zero.