Exemplo resolvido: polinômio de Maclaurin

RKA2G - Nós temos uma função "f" dada por: f(x) = 1 sobre a raiz quadrada de (x + 1). Queremos encontrar um polinômio de Maclaurin de segundo grau para esta função "f". Antes de mais nada, convido você a dar um pause neste vídeo e tentar ver se você consegue resolver sozinho. Vamos relembrar: o que é um polinômio de Maclaurin? Um polinômio de Maclaurin nada mais é do que um polinômio de Taylor centrado em x = 0. Vamos tentar procurar essa expansão de Maclaurin até, pelo menos, o termo de segundo grau. Nós vamos querer um polinômio de segundo grau. Então, o polinômio p(x) vai ter a seguinte forma, vamos ver. Para o polinômio de Maclaurin, nós vamos fazer: f(0) vai ser o primeiro termo. Poderia ter colocado "x" elevado a zero, mas não precisa. Estamos centrando em x = 0, já que é de Maclaurin. Mais f'(0). A derivada primeira da função avaliada em zero, vezes "x", mais f''(0), a derivada segunda avaliada em zero. Aqui vai aparecer dividido por 2 fatorial, que dá 2. Já vou deixar 2 aqui. Se você quiser, pode dividir aqui também por 1 fatorial, mas dá 1, não muda nada. E aqui você pode dividir por zero fatorial, que também dá 1 e não muda nada. Vezes x². Esta é a forma do polinômio de Maclaurin de segundo grau que estamos procurando para aproximar esta função "f". Agora, vamos ter que tentar avaliar esta função "f" em zero e as suas derivadas, também, vamos ter que avaliar em zero. Vamos tentar fazer isso. Vamos começar avaliando f(0). f(0) vai ser 1 sobre... Vamos trocar "x" por zero, vai ficar raiz quadrada de (0 + 1). Bom, 0 + 1 = 1, raiz quadrada de 1 é 1. 1 dividido por 1, isto tudo deu 1. Então, f(0), este cara aqui, já podemos dizer que é 1. Agora, vamos tentar fazer a derivada primeira e avaliá-la, também, em zero. Para fazer a derivada primeira, vamos fazer aqui... Aqui não vai caber. Vamos reescrever f(x) aqui embaixo. Vou reescrever assim. f(x) é a mesma coisa que... Se eu pegar isto, que é (x + 1) elevado a 1/2, vamos jogar para cima. Eu posso dizer que isso aqui é (x + 1) elevado a -1/2. E agora, vamos fazer derivada desta função. A derivada desta função "f". O que vamos fazer aqui é a regra da cadeia. Vamos derivar aqui dentro primeiro. A derivada de (x + 1) em relação a "x" é 1. E vamos derivar, agora, isto aqui tudo. Aqui, para derivar, vamos tombar este expoente. Vai ficar -1/2 vezes... Aqui vai ficar x + 1 e vai diminuir 1 no expoente. Já que era -1/2, agora vai ficar -3/2. E podemos, então, avaliar a função (a derivada primeira) em zero. Vamos trocar o "x" por zero. Se eu trocar o "x" por zero, vai ficar 1. 1 elevado a -3/2 vai dar 1. Então, isto vai ficar -1/2 vezes 1, que vai dar -1/2. Portanto, já descobrimos que este cara podemos trocar por -1/2. Falta, agora, fazermos a derivada segunda da função "f" e avaliá-la em zero. Vamos pegar uma outra cor. Vamos fazer agora a derivada segunda. A derivada segunda da função f(x). Vamos derivar a derivada primeira para chegar à derivada segunda. De novo, vamos fazer a mesma coisa. Vamos derivar aqui dentro e vai dar 1, nós já vimos. E agora podemos derivar tudo isto. Este expoente vai tombar. Vai ficar -3/2. Vai cair aqui e multiplicar -1/2. Então, isto vai ficar positivo. Vai dar 3 sobre... 2 vezes 2 = 4. 3/4 vezes... Agora vamos colocar aqui, x + 1 e o expoente aqui diminui 1. Se você tem -3/2 e tira 1, vai passar a ficar -5/2 no expoente. Então, podemos também avaliar a derivada segunda em zero. Vamos trocar o "x" por zero. Trocando "x" por zero, isto vai ficar zero. 0 + 1 vai dar 1, 1 elevado a -5/2 dá 1. É só multiplicar 1 vezes 3/4. Isto dá 3/4. Então, sabemos que isto, aqui em cima, podemos trocar por 3/4. Se isto é 3/4, então, isto tudo nós vamos trocar por... 3/4 dividido por 2, metade de 3/4, é 3/8. Agora vamos escrever este polinômio, o polinômio de Maclaurin em segundo grau para aproximar esta função "f". Repare que poderíamos ter colocado mais termos nesta expansão, entretanto, ele pediu um polinômio de segundo grau. Então, a gente parou no termo de x². Portanto, o polinômio que queremos é este de segundo grau. Este polinômio vai ser escrito assim: p(x) é igual a... Vou usar as mesmas cores. Os coeficientes vão ser: 1, depois, -1/2, vezes "x", depois mais 3/8 de x². Este é o polinômio de Maclaurin de segundo grau que a gente vai usar para aproximar esta função "f". E podemos usá-lo para aproximar esta função "f", principalmente, se estivermos trabalhando com valores próximos de x = 0.