Visualização de aproximações de polinômios de Taylor

[RKA20C] Vamos dizer que a gente tem aqui a função f(x) = eˣ. Vou esboçar o gráfico dessa função aqui para a gente ver mais ou menos como é essa função, para a gente ter uma noção melhor dessa função. Então, eˣ... o gráfico vai ser algo deste tipo aqui. Algo assim, tá? Então, aqui, eˣ. Mas o que eu quero fazer é aproximar essa função f(x) usando uma aproximação para a série de Taylor ou a expansão de Taylor. Mas a gente não quer fazer isso em x = 0. A gente quer fazer isso para um outro valor, um valor arbitrário. Vamos, sei lá, fazer isso para... digamos, x = 3. A gente pode escolher um valor arbitrário. Vamos colocar aqui x = 3. Então, aqui vai ser o nosso centro. Vamos centrar a nossa aproximação em x = 3. Bom, aqui, o que vou ter? f(3), que vai ser e³. Na expansão de Taylor, se a gente utilizar aqui um polinômio de grau 0, a gente vai ter um polinômio constante. O melhor que a gente vai conseguir aqui é uma reta horizontal passando em e³. Se a gente quiser utilizar um polinômio de grau maior, por exemplo, um polinômio de grau 1, a gente já consegue a reta tangente à função quando x = 3. Se a gente aumentar o grau do polinômio, a gente vai ver curvas cada vez mais próximas da função, né? Então, se a gente aumentar o grau do polinômio, a gente vai ver que esse gráfico vai convergindo para o gráfico de a(x). Bom, vou falar um pouquinho melhor sobre convergência e se realmente essa convergência é boa ou não mais para frente. Mas, enfim, vamos lá! Vamos aplicar a fórmula aqui, utilizando a mesma ideia que a gente já usou em outro vídeo. Queremos escrever o polinômio P(x), o polinômio de Taylor. Este polinômio aqui, o primeiro termo dele é f(c), então, aqui f(x) = eˣ. Estamos usando o c, neste caso, como 3, ou então, c = 3. Portanto, vai ficar f(3) ou e³. Aqui vai dar e³, o nosso primeiro termo, né? Mas, agora, aqui vai ter f'(c)... Bom, primeiro, o que é f'? f' é a derivada da função f. Uma das coisas mais legais da derivada de eˣ é que a derivada primeira de eˣ vai ser a mesma coisa que a própria função eˣ. Na verdade, o mais bacana mesmo é que a derivada de ordem n desta função vai ser igualzinha a eˣ, ou seja, posso sair derivando quantas vezes eu quiser e sempre vai dar eˣ. Então, f'(x) = eˣ. Quero f'(c), mas para o c a gente está usando 3. A gente quer f'(3). Então, vai ficar e³. O nosso coeficiente aqui vai ser e³. E aqui vai ser vezes (x - c). Então, vai ficar vezes (x - 3). Mas vamos continuar agora, procurar o nosso próximo termo. Eu vou ter f''(c), então a derivada 2ª... Aqui, a gente já sabe que a derivada de qualquer ordem que a gente fizer de eˣ vai dar a própria eˣ, então, aqui vai ficar e³, porque a gente está usando c = 3, vai ficar e³ de novo, sobre, agora tem um 2 fatorial, vezes x - c. Então, (x - 3)², tá? Continuando, o nosso próximo termo ficaria f³, a derivada 3ª da função, continua sendo eˣ também, então, vai ficar e³ de novo, não vai mudar aqui, sobre 3 fatorial, vezes (x - 3)³. E, se a gente quiser, pode continuar adicionando mais temos... Acho que já deu para pegar a ideia principal, né? O mais interessante aqui é que, conforme a gente vai acrescentando novos termos no polinômio, melhor vai ficando essa nossa aproximação do gráfico de eˣ. Quanto maior é o grau deste polinômio aqui, melhor fica a aproximação de eˣ, principalmente quando eu me afasto de x = 3. Para a gente visualizar melhor, coloquei no ofran alfa. O ofran alfa é um "ponto com", acho que digitei o seguinte: f(x) = eˣ, série de Taylor quando x = 3. Ele me deu este polinômio aqui, está vendo? Que é praticamente igualzinho ao polinômio que a gente tem aqui. Aqui, você pode ver e³ + e³ (x - 3). Está igual ao nosso, a gente também começou com e³ + e³ (x - 3). Aí, para o próximo termo, ele já calculou o fatorial, né? Então, ele fez e³/2. Lá, o nosso era 2 fatorial... Aqui, olha: 2 fatorial. Ele fez a conta, deu 2. Então, ficou e³/2 × (x - 3)². Mais e³/6... Bom, o 6 apareceu aqui, igualzinho ao nosso também, só que aqui era 3 fatorial. Então, ele fez a conta: 3 fatorial é 6. Ficou e³/6 × (x - 3)³. Ele ainda acrescentou mais termos aqui. Então, ele colocou termos a mais que no nosso. Mas o mais interessante aqui é que ele plotou o gráfico para a gente. Esta curva laranjinha aqui é o gráfico da função f(x) = eˣ. Então, curva laranja, gráfico de eˣ. E essas outras curvas que ele plotou junto correspondem aos polinômios de diferentes graus que a gente construiu para fazer as aproximações. Repare, aqui embaixo, a aproximação de ordem n vai estar representada com n pontos. Bom, vamos fazer isso aqui para você ver. O que seria aproximação de ordem 1? Seria a gente usar o polinômio de grau 1. Vamos pegar um polinômio de grau 1. Está aqui. Polinômio de grau 1, porque o maior expoente aqui de x é 1. Bom, a aproximação de ordem 1, ao usar o polinômio de grau 1, a gente vai ter representado no gráfico um ponto. O gráfico apresentado com um ponto é esta curva aqui. Tem um pontinho só apenas. Então, a gente já sabia, vai dar a reta tangente ao gráfico de eˣ quando x = 3. A gente sabia: dá isso aqui. Bateu! Vamos pegar agora um polinômio de grau 2, vamos aumentar a nossa aproximação. Vamos usar uma aproximação de ordem 2, então, vai ser um polinômio de grau 2, está aqui. Agora é um maior expoente de x, agora é x². Bom, a gente vai procurar no gráfico, dois pontinhos, está aqui. Vai estar aqui a nossa parábola, 2 pontinhos. Dois pontinhos, ela vem para o lado de cá também. Então, a nossa curva seria esta aqui. Esta curva aqui seria a parábola, função de 2º grau. O que dá para a gente perceber aqui já, olhando? Conforme a gente for aumentando o grau, essa aproximação vai ficando melhor, vai ficando mais próxima de eˣ do que se eu tivesse usado com grau 1. Então, ao aumentar o grau para um polinômio de grau 2, melhorou a aproximação, principalmente quando a gente se afastou aqui de x = 3. Se eu pegasse agora uma coisa maior ainda, vamos pegar aqui um polinômio de grau 3... Agora, vamos fazer a nossa aproximação ser ainda maior. Vamos pegar aqui grau 3, tá? Obviamente, uma aproximação de ordem 3, um polinômio de grau 3, a gente vai procurar aqui com três pontinhos, então, estaria aqui. Com três pontinhos é esta curvinha aqui. Aqui. Então, o gráfico vai ficar uma coisa mais ou menos assim. Então, se a gente usar um polinômio de grau 3... Você vai vendo que, quando vai se afastando de x = 3, a sua aproximação é muito melhor do que se você usasse um polinômio de grau 2, e melhor ainda se você usar um polinômio de grau 1. Então, a gente está aumentando o grau do polinômio, está colocando mais temos, e está melhorando a nossa aproximação. Para finalizar, vamos fazer agora com um polinômio de grau 4. Vamos escolher uma outra cor. Está aqui o nosso polinômio de grau 4, vou circulá-lo aqui. Então, polinômio de grau 4 seria este. A gente vai usar o polinômio de grau 4, vamos procurar aqui a curva com quatro pontinhos. Então, aqui está a curva... Aqui também, quatro pontinhos. Então, o nosso gráfico ficaria mais ou menos uma coisa assim. Aqui, quatro pontinhos. Bom, o que a gente pode perceber é que, quando a gente vai se afastando de x = 3, o nosso polinômio de grau 4 foi uma aproximação muito melhor do que os nossos polinômios anteriores, né? Os nossos polinômios de graus menores. Então, conforme vamos adicionando termos, estamos ficando cada vez mais próximos da função f(x) = eˣ. Imagine se a gente colocasse, no nosso polinômio, infinitos termos para esse polinômio. A gente teria uma aproximação muito boa para eˣ, mesmo quando a gente estivesse distante de x = 3.