Resto de um polinômio de Taylor (parte 1)

RKA2G - Vamos supor que a gente tenha uma função aqui f(x). Vamos desenhar o gráfico de uma função f(x) qualquer. Colocar aqui o eixo "y", o eixo "x". Digamos que o gráfico dessa função qualquer seja algo assim. O que eu quero fazer é aproximar esta função usando o polinômio de Taylor. Mas eu quero fazer isso em torno de x = a. Aqui é o eixo "x", aqui é o eixo "y". A gente quer aqui, em torno de x = a, vamos aproximar esta função usando o polinômio de Taylor. Já vimos que a ideia de usar o polinômio de Taylor é: primeiro, vamos precisar de um polinômio que tenha todas as derivadas aplicadas em "a" igual às derivadas da função "f" aplicadas em "a" e, além disso, o próprio polinômio aplicado em "a" tem que ser igual à função "f" aplicada em "a", também. Então, esse polinômio de Taylor que a gente está procurando, vamos escrever P(x). É comum você ver, de vez em quando, um N maiúsculo para dizer que este polinômio vai ter grau N. Então, a gente está fazendo uma aproximação de ordem N. Até pode aparecer também assim: alguns autores usam Pɴ,a ("N" é o grau) para dizer que é um polinômio de grau N centrado em "a". A gente vai fazer a aproximação em torno de "a". Não vou escrever isso sempre, mas vamos deixar aqui desta vez para você saber Se aparecer, você já sabe o que significa: um polinômio de grau N centrado em "a". É o polinômio de Taylor. Relembrando, ele vai ficar: f(a), mais... Aqui a gente vai ter a derivada primeira da função aplicada em "a", vezes (x - a), mais... Aqui a gente vai ter f'', a derivada segunda da função aplicada em "a" vezes (x - a), só que vai ser ao quadrado, e aqui aparece o 2 fatorial. Aqui também, você pode colocar 1 fatorial, se quiser. Não muda nada, 1 fatorial é 1. Se quiser, pode colocar. Se não quiser, não precisa. Mais... Aqui a gente vai ter a derivada terceira da função aplicada em "a", vezes (x - a)³ sobre 3 fatorial. Acho que já dá pra você ver como vai ser, mais ou menos, a cara desse polinômio. Vamos colocar aqui três pontinhos, mais... Como é um polinômio de grau N, o último termo aqui vai ser f(n), a derivada enésima da função "f" aplicada em "a", vezes (x - a)ⁿ dividido por "n" fatorial. Vou apagar isto, porque aqui é um parêntese. Está aqui o polinômio de Taylor, esta aproximação aqui da função f(x) em torno de x = a. Já sabemos que este polinômio e a função vão ser iguais quando "x" for "a". Então, se eu colocar, no lugar do "x", "a", todos estes termos que têm (x - a) vão ficar zero, vão sumir. Vai ficar P(a) = f(a). Então, já temos que P(a) vai ser igual a f(a). Além disso, a gente já sabe que, quanto mais termos eu colocar neste polinômio, melhor vai ficar o encaixe da curva do polinômio com a curva da função. Além de ter que P(a) = f(a), eles vão ser iguaizinhos aqui, esse encaixe vai ficar algo mais ou menos assim. Vou tentar desenhar isso. Seria uma curva mais ou menos assim, a curva do polinômio. Mas tudo isto até agora foi só revisão. A gente tem o gráfico de uma função "f" qualquer aqui, um polinômio de Taylor para fazer a aproximação dessa função. Quanto mais termos a gente coloca aqui no polinômio, maior vai ficar o grau do polinômio e melhor vai ser o encaixe entre esta curva do polinômio e a curva da função, mais próximo vai ficar aqui, principalmente quando a gente se afasta de x = a. Mas o que eu quero fazer aqui no vídeo é o seguinte: será que tem como a gente medir o quanto esta aproximação está realmente boa? Será que tem como a gente ver se este encaixe entre as duas curvas é realmente bom? Será que a gente pode definir uma função que calcule para a gente a diferença entre essas duas funções? Esta função aqui costuma aparecer como função resto: Rɴ,a⁽ˣ⁾. Também pode aparecer para você como função erro: Eɴ,a⁽ˣ⁾. Tome cuidado porque às vezes você pode confundir aqui. Isto é até evitado por alguns autores, porque se pode confundir isto, em Estatística, com o valor esperado. Então, lembrar que isto é "erro". A função erro vai ser definida assim: vamos usar as mesmas cores que a gente usou. Vai ser a diferença entre o resultado na função "f" (o valor da função "f" aplicada naquele valor "x" que eu quero), menos a diferença com... Vamos usar a mesma coisa cor do polinômio. Menos o valor aplicado no polinômio para aquele valor de "x". A gente também tem um polinômio de grau N centrado em "a". Então seria isto, eu quero tentar criar essa função resto, essa função erro. Vou passar a chamar de erro. Erro seria a diferença entre "f", que é a função, e o polinômio. Vamos dar um exemplo aqui para você, para ficar mais claro. O que seria a gente calcular o erro... O erro desta função em um valor x = b, digamos? O que significaria isso? Digamos que você tenha x = b aqui. Aqui está o "b". Se "x" é "b", você vai fazer a função aplicada em "b", menos o valor do polinômio aplicado em "b". Então, você tem a função aqui. Quando x = b, a função está dando um valor aqui em cima. Este é o valor. E, quando x = b, o polinômio está um pouco mais embaixo aqui. Você vai ver que existe uma diferença entre eles. Este é o valor no qual estamos interessados. Então, isto seria o erro, neste caso. Mas, se eu tentar fazer isso aqui, a mesma coisa que em "a", não em "b", se eu quiser calcular o erro aqui em "a", você vai ver que o polinômio aplicado em "a" e a função aplicada em "a" são iguais. Então, se eu fizer o erro aqui em "a", eu vou ter f(a) - P(a). Como eles são iguais, o erro vai dar zero. Vou escrever isto, que é importante. O erro... Aqui eu já não vou ficar escrevendo esses índices, já vamos colocar aqui. Já pressupõe-se aqui que é de grau N e centrado em "a". Para a gente ganhar tempo. Então, o erro, E(x), aqui vamos já colocar em "a". O erro aqui, quando eu estiver avaliando em "a", ele vai ser: f(a) - P(a). Eu já sei que estas duas coisas são iguais no polinômio de Taylor. Então, isto vai dar zero. Legal, isto é um resultado importante para a gente. E se eu tentar fazer agora a derivada primeira deste erro? Se eu fizer E'(a), isto vai ficar f'(a) - P'(a). O que tem mais bacana no polinômio de Taylor é o seguinte: Como a gente define o polinômio de Taylor até o grau do polinômio, que no caso é o grau "n", até o grau do polinômio, a gente vai ter que as derivadas desse polinômio vão ser iguaizinhas às derivadas da função quando a gente aplicar em "a". Por exemplo, quando a gente tem a derivada primeira da função f'(a), e tem aqui a derivada primeira do polinômio em "a". O que vai dar esta derivada primeira do polinômio? Eu vou fazer a derivada primeira, este termo aqui é constante, já vai sair. Este aqui eu vou ter... Aqui tem um x¹. Então, vai ter uma constante vezes "x", a derivada primeira aqui, vai dar a própria constante. Então, vai aparecer só este termo aqui. Daqui para a frente, eu vou ter, pela regra do tombo, termos aparecendo em (x - a). Não vão sumir, porque vai cair o 2 e vai ficar (x - a)¹. Aqui vai cair o 3, vai ficar (x - a)². Isso é importante. Todos estes termos aqui vão ter um (x - a) aparecendo. Quando eu vou aplicar aqui, no lugar do "x", o "a", como a gente quer fazer o P' em "a", estes termos aqui também vão todos desaparecer. Vai sumir isto, vai sumir isto, vai sumir tudo. Já vai sumir isto, que é uma constante. Então, vai sobrar só f'(a). Portanto, a gente vai ter que P' aplicado em "a" vai ser f'(a). Este é um resultado bacana, que a gente vai usar. Vamos escrever isto para a gente não perder. Já sabemos que o polinômio de Taylor, a gente já definiu que vai dar P(a) = f(a). Eu sei também que P'(a)... P'(a) também vai ser igual a f'(a). Sei também que, se eu continuar com isto, é verdade: P''(a) = f''(a). E isto vale até a gente chegar no grau "n", que é a derivada do polinômio de grau "n" em "a". é igual à derivada de ordem "n" da função em "a". Como a gente sabe que isto vai acontecer, a gente sabe também que aqui eu posso calcular o E''(a) e isso vai dar f''(a) - P''(a). Então, a gente já sabe que isto aqui vai dar zero, porque f'(a) - P'(a), os dois são iguais, então, isto dá zero. Aqui a gente sabe que este cara, f''(a) - P''(a) vai dar zero também, porque estes dois caras são iguais. E a gente pode dizer que isto vai acontecer até aqui, o erro de ordem "n", a derivada de ordem "n" do erro, aplicada em "a", também vai dar a derivada de ordem "n" da função aplicada em "a", menos a derivada de ordem "n" do polinômio aplicada em "a". Isto também vai dar zero. E este resultado é muito importante para a nossa ideia de como medir, de como tentar majorar o erro, que é a ideia principal neste vídeo. Talvez a gente até vai falar disso em outro vídeo, mais para a frente, mas a nossa ideia do vídeo seria isso: tentar majorar, tentar medir, limitar esse erro. A gente quer tentar achar esse limite para o erro principalmente quando a gente vai se afastando aqui de onde estamos centrando, da nossa aproximação, no caso, x = a. Legal, a gente tem o nosso resultado, mas vamos pensar uma coisa: o que daria a derivada de ordem (n + 1) aqui da função erro? Vamos tomar a derivada de ordem (n + 1) aqui dos dois lados da equação. Ficaria: a derivada de ordem (n + 1) da função erro, aqui avaliada em "x". Não necessariamente em "a", vamos fazer em um "x" qualquer. Vai ficar: a derivada de ordem (n + 1) da função "f", menos a derivada de ordem (n + 1) do polinômio, também aplicada em "x". Vamos pensar uma coisa: o que dá a derivada de ordem (n + 1) de um polinômio P? Este polinômio sendo de ordem "n". Bom, dá para você fazer isso aqui, provar isso para o caso geral, mas eu vou tentar mostrar aqui que há até uma maneira intuitiva da gente imaginar o que vai dar. Imagine aqui, por exemplo, que você tem y = x. Quando você fizer a derivada (isto é um polinômio de grau 1), quando você fizer a derivada de uma ordem superior, de uma a mais (vou fazer a derivada segunda)... Quando eu fizer a derivada primeira: derivada primeira de "x" dá 1, a derivada segunda dá zero. Então, a derivada de um polinômio de grau 1, quando eu faço a derivada segunda, dá zero. Se eu pegar um polinômio de grau 2? Vamos pegar y = x². Agora vamos pegar a derivada desse cara com uma ordem acima. Vamos fazer a derivada terceira. A derivada primeira de x² é 2x. A derivada segunda de x² vai ficar a derivada de 2x, que vai ser 2. Depois, a derivada terceira vai ser a derivada de 2, que é uma constante, dá zero. Portanto, a derivada de um polinômio de grau 2, a terceira derivada dele, a derivada de ordem 3, vai dar zero. Em geral, você pode provar isto. Isto acontece mesmo para um polinômio de grau "n". Se eu tenho um polinômio de grau "n" e estou fazendo a derivada de ordem (n + 1), uma a mais do que o grau do polinômio, isto aqui vai dar zero. Então, vamos ter aqui que a derivada de ordem (n + 1) da função E(x) vai ser igual à derivada de ordem (n + 1) da função f(x). E o que eu quero fazer aqui... Na verdade, a gente vai ter que deixar para o próximo vídeo, mas a gente quer tentar limitar isto. Se a gente conseguir limitar este cara aqui, se conseguir controlar o erro, se a gente conseguir, na verdade, majorar este cara. Digamos que a gente consiga um valor limite aqui para o módulo desse número. Dá para a gente supor que o módulo disto, o valor absoluto, é menor que um certo valor "m", por exemplo. Se a gente conseguir limitar isto, talvez usando um pouquinho de cálculo, se sair integrando este cara, a gente consiga voltar na função original e consiga limitar, de alguma forma, este erro que a gente vai cometer aqui se a gente tiver um tipo de imposição dessa, se tiver um valor máximo que a gente admite como erro. Mas a gente vai ver isso no próximo vídeo.