If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:9:20

Exemplo resolvido: estimar eˣ usando o resto de Lagrange

Transcrição de vídeo

estimando elevada 1,45 usando um polígono de taylor sobre x igual a 2 qual é o menor grau do poli nome o que garante um erro menor que 0,01 bom em geral se você tiver uma situação que está aproximando uma função usando o codinome de ter centrado em um certo valor ea gente quiser descobrir qual o número mínimo de termos que a gente precisa o qual é o grau do poli nome que eu devo usar para que o erro não ultrapasse um certo valor de modo que eu consiga limitar esse erro pode desconfiar que a gente vai usar o teorema do resto de lagrange para polir nome de temer vamos relembrar isso aqui então a gente tem uma revisão do teorema do resto de lá grande para quando a gente tá aproximando uma função usando o nome de temer que diz esse resultado o módulo do resto de um polígono de grau n ele vai ficar menor ou igual do que toda essa expressão zinho aqui modo bom nessa expressão que está aparecendo vou aparecer no n aqui o n o enel grau do poli nome que a gente está usando na aproximação é exatamente isso que eu quero descobrir bush seria com o valor que a gente vai fazer essa aproximação então x nesse caso é 1,45 a gente tem é você que é pra qual o valor a gente vai fazer a central nossa aproximação do nosso povo em nome de temer então você vai ser 2 a gente tem um emmy que seria o m o e mail limite superior do módulo da derivada de ordem e mais um da nossa função efe bom a gente está tentando aproximar que a função é a x então escrever fdx é igual à x a gente quer aproximar isso quando chegou a us 1,45 bom que a gente não tem aqui a gente vai pra calcular o valor do m esse m é que o limite superior do módulo da elevada de ordem mais um da nossa função é bom tentar procurar quem é a derivada de animais da nossa função o legal é que a nossa função é ea x ea derivada primeiro dia x é a própria x à deriva da segunda dia x também dá x a gente sabe que se a gente fizer isso pra qualquer ordem aqui quando eu fizer derivada de ordem e mais um aqui dessa função vai da própria ashes o que é bastante conveniente pra gente uma vez que esse tipo de problema pode ser bem complicado quando a gente tem dificuldade para limitar e essa derivada de animais na função caso o derivado de animais na nossa função é a própria x ea gente que acha um limite para o módulo de ashes entretanto quando a gente considera o domínio real dessa função ea chef x igual é a x a gente tem que quando x vai para o infinito e ashes vai preferir também é uma função limitada foi atendido consegue um limite superior para essa função aí a gente vai fazer então é considerado um certo intervalo então ele vai achar um intervalinho em que ela tem um limite superior então vou escrever aqui que o módulo de ashes ele é menor ou igual ao que elevada ao quadrado praxes entre 10 mm e dois inclusive dois então agora está colocando intervalo ao intervalo entre zero e 2 inclusive quando a gente pega o x dentro desse intervalo a gente tem que o módulo de ashes é menor ou igual que é o quadrado esse intervalo é que eu não escolhi a casa também não a gente quer um intervalo que a gente tenha o valor do x da nossa aproximação que 1,45 ele está dentro desse intervalo ea gente tem o valor de quem está centrando o nosso nome é 2 que também está nesse intervalo e aí a gente conseguiu que o valor zinho km a gente conseguir um valor que para ser o nosso limite já que ao quadrado aqui ó ele é um limite superior aqui para o módulo de ashes esse cara que a gente vai tomar como sendo nosso m então voltando lá para o resto de lagrange vamos escrever aqui nós vamos ter o módulo do resto de um polígono de ordem n aqui ele tem que ser menor ou igual do que essa expressão zinho aqui a gente vai ter é enquadrado na que é nosso e me sobre ele mais um fato real é mais um fator yao vezes x ac x que nós vamos usar 1,45 ao valor que a gente quer aproximar 1,45 - você você onde está centrando o nosso nossa aproximação - 2 a kibon ver fumo colocar essa conta que vai 1,45 menos 2 que vai dar menos 0,55 e levado à eni mais um isso aqui em moda bom o que eu quero eu quero que esse cara aqui e se tudo aqui eu quero que seja um valor menor do que 0,7 ou 0,8 e 0,7 um bom mas aqui dá uma olhada para esse cara aqui o módulo desse valor aqui tem que ser menor que 0,01 aqui ele tem o quadrado é sempre positivo né e aqui e mais um fator yao também é sempre positivo -0 55 elevado animais um bom se isso aqui ele mais um expoente para isso aqui vai dar positivo se foi informada da negativa então aqui vai ficar oscilando entretanto não importa como você vai dar positivo ou negativo esse resultado aqui dessa multiplicação desses dois por a divisão por esse resultado aqui isso aqui a gente vai tirar o módulo então isso aqui vai dar um sempre o mesmo valor positivo então eu posso tirar um módulo aqui a gente pode fazer análise e assim vou escrever isso aqui vai ser elevada ao quadrado sobre animais um fatorial e aqui vezes 0,55 não precisa se preocupar com o sinal né no módulo vai dar sempre positivo então isso aqui vai ficar em 0,55 levado a eni mais um quero que isso aqui seja menor que 0,01 na mesma cor branco então eu quero que isso daqui seja menor que 1 000 um certo bom legal mas como a gente está querendo resolver aqui n aqui eu vou dividir por é o quadrado dos dois lados daqui da nossa equação não é o quadrado aqui com o quadrado vai desaparecer e aqui vai aparecer ao quadrado do lado de cá como é o quadrado um número positivo não vai alterar nada a estrutura da nossa equação isso vai ficar então 0,55 isso elevado animais 1 / mais um fator yao isso tem que ser menor 0,001 isso tudo / ao quadrado bom pra resolver isso a gente vai tentar procurar agora qual o enem que satisfaz aqui essa equação ou pelo menos com o menor enix satisfaz essa equação aqui eu vou abrir mão da nossa calculadora não vou abrir a calculadora para a gente tentar aqui achar esse resultado tá bom aqui dá só uma olhada no seguinte primeiro vamos calcular esse valor e quiser 1,01 / ao quadrado vou fazer 0,001 / é o quadrado é o quadrado 0,01 / ao quadrado isso vai dar 1,35 335 vezes 10 elevada - quatro a dez elevada - 4 isso daqui eu vou voltar aqui a vírgula quatro casinhas né então isso aqui eu posso escrever assim ó 0,55 e levado a ele e mais um sobre animais um fatorial isso tem que ser menor que 0,0001 35 certo para que a gente acabou fazendo uma aproximação aqui né então esse valor aqui que a gente dividiu 0,01 por ao quadrado não deu exatamente isso ó ele deu um valor maior de 0,0001 35 a even vários valores aqui depois só tem vários números aparecendo aqui que a gente trocou por 0 né gente aproximou aqui a gente usou uma aproximação menor do que o valor de fato e aí o interessante é o seguinte já que esse cara aqui ó que a gente está procurando a gente que achar um n que faz isso aqui ser menor do que essa aproximação e essa aproximação é menor do que o valor de fato se eu conseguisse henik menor que esse cara automaticamente já conseguiu n que eu queria que para resolver isso aqui também aqui a gente pode escrever aqui ó 1 c e somente se aqui nessas duas expressões tá bom que a gente vai fazer que agora é tentar valores aqui para o n né vamos testar valores naturais aqui no lugar do enem para ver se resolve essa equação zinho aqui entretanto como a gente quer o menor grau do poli nome como indica o menor valor eu quero encontrar um número natural que resolva isso que satisfaça isso porém o seu antecessor não pode satisfazer isso então antes dele ninguém vai satisfazer por isso ele vai ser o menor não quer um cara que satisfaça mas que ninguém é interessante bom vamos lá então vamos procurar você pode começar esse henik testando qualquer número natural né 1234 você quiser eu vou começar isso aqui fazendo com n igual a 3 por exemplo vamos fazer 0.55 é que vou fazer e levado a 3 mais um vai ficar 41 elevado a 4 / 3 mais 14 fatorial 4 natural e 24 isso aqui então vai dar 0,003 bom só tem 20 saque antes do treino então esse cara que está maior ainda não deu certo treier é igual a 3 foi foi pouco a gente vai ter que aumentar o valor do iene vamos tentar um emmy maior vamos tentar é igual a quatro vai ficar 0.55 elevado a agora vamos fazer quatro mais 125 elevado a 5 / 4 mais um aqui vai ficar 5 fatorial 5 fatorial e 120 então isso deu 4,19 vezes 10 a menos quatro bom 10 -4 aqui eu vou voltar a vírgula que quatro casas isso aqui vai ficar 0,00 04 então 0,000 41 ainda é maior mas chegou bem perto né então já tenho a sensação de que o próximo cara que a gente tentar aqui já vai resolver o nosso problema mas vamos confirmar nem parece que sim que vai dar certo vão colocar em igual a 5 e vai ficar 0,55 e levado a 5 +1 da ses / 5 mais um é 66 fatorial vocês fatorial e 125 das 720 isso então vai dar 3,84 vezes 10 -5 e aí como que dez menos cinco vou ter que voltar cinco casas aqui antes do 3 vão aparecer 40 c e agora resolveu mesmo escrever isso aqui deu 0,0000 384 compara aqui ó 000 384 é menor do que esse cara tem 40 73 né a gente conseguiu um valor menor então é igual a 5 é realmente o menor valor aqui que resolve aqui daqui pra frente a gente vai conseguir outros valores mas todos vão ser maiores que 5 né então quando a gente colocou em igual a 5 a gente tem aqui que o resto né esse resto aqui ele vai ficar menor ou igual do que 0,01 mas erro que a gente vai cometer então a pergunta era qual é o menor grau do poli nome que vai garantir pra gente um erro menor que 0,01 menor grau é igual assim
AP® é uma marca comercial registrada da College Board, que não revisou este recurso.