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Exemplo resolvido: estimar sen(0,4) usando o resto de Lagrange

Transcrição de vídeo

estimando sendo de 0,4 utilizando um prenome de maclaurin qual será o menor grau do pornô bio que assegura um erro menor do que 0,7 e 0,6 em nós poderíamos ter uma função e nós podemos estimar lá com onézimo grau do por enorme de maclaurin e na verdade poderíamos falar de modo mais geral acerca do povo em nome de taylor mas vamos apenas dizer que esta é a enésima potência do povo em nome de mclaren mas isto não será uma aproximação perfeita isso terá algum erro ou algum resto e assim poderíamos chamar este restante da enésima potência do povo em nome de mclaren é que será independente para qualquer valor de x e agora se nós queremos utilizar as especificidades desse problema exato podemos refazer a lo desta forma então podemos dizer que sendo de 0,4 este será igual ao nosso povo em nome de mclaren a enésima mas o restante será para a enésima potência do povo em nome de mclaren avaliado em 0,4 e aqui o que realmente queremos descobrir é qual será o menor grau de higiene para que este por enormes seja menor que 0,001 então nós queremos descobrir qual será o menor n para que o restante do nosso pulo nome de maclaurin a enésima avaliado em 0,4 seja menor que 0,001 portanto esta é apenas uma outra maneira de reformular esse problema ea maneira com que podemos resolver isto pode ser chamado que resto de lagrange e temos outros vídeos que provam isto e esta maneira é muitas vezes chamada também do teorema do restante de tyler e este teorema nos disse que para o valor absoluto da nossa função elevado a eni mais um de x for menor ou igual a 1 mm para o intervalo aberto contendo 10 e x que nesse caso específico desse tipo o vídeo é igual a 0,4 mas aqui vou utilizar como no geral então 0 e x-men então se isso for verdade se n mais um desta função deixar menor ou igual a m logo aqui aqui entra a parte útil de lagrange então podemos dizer que o restante é limitado logo o valor absoluto do pulo enorme a enésima parte x terá que ser menor ou igual ao valor absoluto dm vezes x elevado a eni mais 1 / n mais um fator yao bem mas então como podemos aplicar isto a este problema em particular vamos pensar sobre os intervalos de seno sabemos que o valor absoluto de ensino é menor ou igual a 1 e seu derivado é de conselho no the x e seu valor absoluto também será limitado que será menor ou igual portanto não importa quantas vezes tomamos o derivado de cena de x o absoluto desse valor sempre será menor ou igual a 1 então de maneira geral nós podemos escrever que para o valor absoluto desse fdx em particular elevado aí mais um derivado então de qualquer valor de x será menor ou igual a 1 e este é o caso para onde f é igual a cena onde f é cena de x e este será verdade para qualquer intervalo e ele nem sequer tem que ter algum tipo de intervalo restrito onde podemos fazer isto então nós sabemos que este é nosso e me aquecendo e seus derivados são todos limitados ao seu valores absolutos são delimitados por um e assim temos então nosso m e podemos aplicar o erro de lagrange então podemos dizer que o restante do nosso onézimo termo no polônio de maclaurin terá uma aproximação de 0,4 é isto apenas para o nosso x em particular que é 0,4 então podemos dizer que isso será menor ou igual a um valor absoluto vamos pegar aqui então m será igual então nem vou escrever o ac x nosso x então é 0,4 e levado à eni mais 1 / n mais um fator yao e este entanto é o erro de lá grande que queremos descobrir uma situação que será menor que 0 v12 001 e se esse for menor que 0,00 então com certeza esse também será menor pois é menor ou igual ao que este mas então como vamos descobrir isto como é que vamos fazer bem para isso nós podemos apenas experimentar alguns genes e continuar aumentando o valor deles até que esta coisa que realmente se torne menor do que esta coisa aqui então vamos fazer isto vou montar o esquema aqui então vou colocar aqui o nosso n e para isso teremos 0,4 e levado a ele mais 1 / bn mas um fator yao bem então vamos tentar vamos começar então como n igual 1 a 1 então teremos que 0,4 e levado a ele que é um mais um tão elevado a 2 / i igual 1 a 1 mais 12 fatorial dois fatores ao igual a 2 então teremos que 0,16 dividido por dois e isto é igual a 0,08 definitivamente isso não é menor que 0 a 0 01 bem vamos tentar agora com igual a 2 então se ele for igual a 2 teremos 0,4 e levado a 2 mas o 3 / três fatores ao 0,064 / 6 que também não será menor quiser vê-los ero 01 bem vamos sentar então com 13 então com três teremos que 0,4 e levado a 3 mais um 4 ^ 4 / 4 fatorial então teremos 0,025 6 / 24 e isso será apenas um pouquinho maior que 0,001 e não podemos cair nessa é apenas um pouquinho maior que 0,01 e pra gente não serve tem então agora vamos tentar para igual a quatro provavelmente teremos um valor menor que r 0,001 mas vamos checar vamos fazer até o final então aqui para a n igual a 4 teremos que 0,4 e levado à 5ª / 5 fatorial é isso será em tanguá 0,010 24 / 5 fatorial 5 fatorial igual a 120 e bem isso definitivamente é menor que 0,7 101 com certeza é menor então encontramos o nosso n e assim então podemos dizer que para o restante do poli nome de mclaren no quarto grau para x igual a 0,4 e será definitivamente menor que 0,001 então este é o menor grau do polônio que garante um erro menor que 0,001
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