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Resto de um polinômio de Taylor (parte 2)

Quanto mais termos tivermos em uma aproximação polinomial de Taylor de uma função, mais perto chegamos da função. Mas QUÃO perto? Nesse vídeo, nós provamos o resto de Lagrange para polinômios de Taylor. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - No último vídeo, começamos a explorar a noção de uma função de erro. Não deve ser confundido com o valor esperado, porque ele realmente vai se refletir na mesma notação, mas aqui, "E" é para "erro", e também vai ser referido como função lembrete. Bom, nós vimos a diferença entre a função e a aproximação da função. Então, por exemplo, esta distância bem aqui é o erro. Este é o erro no ponto de "x" onde x = b. E o que realmente importa é o valor absoluto, porque, em alguns pontos, f(x) pode ser maior que o polinômio e às vezes o polinômio pode ser maior do que f(x). O que nos interessa é a distância absoluta entre eles. O que eu quero fazer neste vídeo é tentar limitar o erro a algum "b". Vamos dizer que ele é menor ou igual a algum valor constante e vamos tentar limitar "b" para um "b" que é maior do que "a". Vamos assumir que "b" é maior do que "a". Nós chegamos a alguns resultados tentadores no último vídeo. Eles aparentavam ser capazes de limitar isso. Vimos que a enésima +1 derivada da função erro é igual à enésima + 1 derivada da função. Seus valores absolutos também seriam iguais. Se pudéssemos, de alguma forma, limitar a enésima + 1 derivada da função durante algum intervalo, um intervalo que importa para nós, que talvez contenha "b" nele, podemos pelo menos limitar a enésima + 1 derivada da função erro. Então, talvez, possamos fazer um pouco de integração para limitar o próprio erro em algum valor "b". Vamos ver se podemos fazer isso. Vamos apenas supor, vamos assumir que estamos em uma realidade onde nós sabemos algo sobre a enésima + 1 derivada de f(x). Vamos dizer que nós sabemos que isto é algo como isto. Isto é a enésima + 1 derivada de "f". Eu só me preocupo com ela durante este intervalo bem aqui. Não precisa se importar com o que ele faz depois. Eu só tenho que me preocupar com este intervalo, porque é aqui que o "b" está. Então, vamos dizer que o valor absoluto disto vamos escrever aqui embaixo. Nós sabemos que o valor absoluto da enésima + 1 derivada de f(x), nós sabemos que esse valor absoluto é limitado. Vamos dizer que é menor ou igual a M durante o intervalo, porque nós só nos preocupamos com o intervalo. Pode não ser limitado em geral, mas o que nos importa é chegar a algum valor máximo durante esse intervalo. Então, vamos escrever aqui sobre o intervalo. No intervalo onde "x" está contido entre "a" e "b". Acho que deste modo nós conseguimos incluir ambos. É um intervalo fechado: "x" poderia ser "a", poderia ser "b", ou "x" poderia ser qualquer coisa aqui no meio. E podemos dizer, geralmente, que essa derivada tem algum valor máximo. Portanto, este é o valor absoluto, o valor máximo. Por isso, "M" de "máximo". Sabemos que ele terá um valor máximo se esta coisa for contínua. Então, mais uma vez, vamos assumir que é contínuo, que tem algum valor máximo sobre este intervalo bem aqui. Nós sabemos que esta coisa bem aqui é a mesma coisa que a enésima + 1 derivada da função erro. Nós sabemos, por isso, que isso implica que o valor absoluto da enésima + 1 derivada da função erro também é delimitada por M, porque também é a mesma coisa. Este é um resultado interessante, mas ainda não nos leva para perto dali. Pode parecer semelhante, mas esta é a enésima + 1 derivada da função erro. E nós vamos ter que pensar em como podemos ter um M no futuro. Estamos assumindo que nós, de alguma forma, conhecemos e talvez vamos fazer alguns problemas-exemplo onde descobrimos isso. Mas esta é a enésima + 1 derivada. Nós delimitamos o valor absoluto, mas nós queremos, de fato, limitar a função de erro real, ou seja, a própria função real. O que poderíamos tentar é integrar ambos os lados e ver se podemos finalmente chegar ao E(x) para obter a função de erro ou a função restante. Então, vamos fazer isso. Vamos dar a integral de ambos os lados disto. A integrante deste lado esquerdo é um pouco interessante: tomamos a integral do valor absoluto. Seria mais fácil se estivéssemos tomando o valor absoluto da integral. E, para nossa sorte, a forma como está configurada é bem interessante. Eu vou escrever isso aqui do lado. Isto é algo para você pensar. Eu tenho duas opções: tenho esta opção e esta opção, esta opção bem aqui. Eu sei que agora elas parecem ter a mesma aparência, mas esta vai ser a integral do valor absoluto e a outra vai ser o valor absoluto da integral. Qual deles é maior? Você só tem que pensar sobre os cenários . Se f(x) é sempre positivo sobre o intervalo que você está tomando a integração, eles vão ser a mesma coisa. Você vai obter valores positivos. Leve o absoluto de valor de um valor positivo: não faz diferença. O que importa é se o f(x) é negativo, se f(x) é negativo o tempo inteiro. Se f(x) é positivo todo o tempo, assim como vimos, você está tomando o valor absoluto de um valor positivo. Não vai importar. Estas duas coisas vão ser iguais. Se f(x) é negativo o tempo todo, então, em seguida, esta integral vai avaliar para um valor negativo. Mas então, você levaria o valor absoluto do mesmo. Aqui a integral vai para um valor positivo, ele ainda vai ser a mesma coisa. O caso interessante é quando f(x) é tanto positivo e negativo. Você pode imaginar uma situação como essa. Se f(x) é algo como isto, então, isto é positivo e isto seria negativo, bem aqui. Assim, eles se anulam mutualmente. Portanto, este seria um valor menor do que se você tomasse a integral no valor absoluto. Assim, o valor absoluto de "f" seria algo parecido com isto. Todas as áreas seriam positivas. Então, quando você vai obter um valor maior quando você toma a integral de um valor absoluto, especialmente quando f(x) vai tanto positivo como negativo sobre o intervalo, você teria em seguida um valor absoluto integral. Porque, se você tomou a primeira integral para algo como isto, você terá um valor baixo, porque isso vai se anular com este outro bem aqui. Você está dando um valor absoluto de um número de magnitude menor. Então, em geral, o valor absoluto da integral vai ser menor ou igual à integral do valor absoluto. Assim, podemos dizer, então, que isto é a integral do valor absoluto, que vai ser maior ou igual... Isto vai ser maior ou igual ao valor absoluto da integral da enésima + 1 derivada de "x", dx. E a razão do por que isso é útil é que ainda podemos manter a desigualdade, que este é menor ou igual a este. Mas agora, esta é uma integração muito mais simples de se avaliar. A antiderivada da enésima + 1 derivada vai ser a enésima derivada. Então, este negócio bem aqui é só pegar o valor absoluto da enésima derivada. Ou seja, o valor absoluto da enésima derivada da função erro, que vai ser, então, menor ou igual a isto que é menor ou igual à antiderivada de M. M é uma constante, então, vai ser Mx. Já que estamos falando de integrais definidas, não podemos esquecer da ideia de que temos uma constante logo aqui. Em geral, quando você está tentando criar um limite superior, você quer um valor tão baixo quanto possível. Então, nós queremos minimizar o que esta constante é. E, para nossa sorte, nós sabemos disso: o valor que esta função assume no ponto "a". Sabemos que a enésima derivada da função erro, em "a", é igual a zero. Acho que escrevi aqui: a enésima derivada, em que a = 0. Isso é porque a enésima derivada da função e da aproximação em "a" vão ser exatamente a mesma coisa. Assim, se avaliarmos ambos os lados disto em "a", sabemos o valor absoluto da enésima derivada em "a". Sabemos que essa coisa vai ser igual ao valor absoluto de zero, que é zero, e que precisa ser menor ou igual quando você avaliar esta coisa em "a", que é menor ou igual a Ma + c. Assim, se você olhar para esta parte da desigualdade, você subtrai Ma de ambos os lados. Você começa com -Ma menor ou igual a "c". Portanto, com base nesta pequena condição que fomos capazes de obter no último vídeo, a constante vai ser maior ou igual a -Ma. Portanto, se queremos minimizar a constante, se queremos obter este valor de limite tão baixo quanto possível, nós consideraríamos que c = -Ma. Este é o menor valor possível que vai atender às restrições que sabemos serem verdadeiras. Então, já podemos considerar que c = -Ma. E depois, podemos reescrever esta coisa toda como o valor absoluto da enésima derivada da função erro, que é menor ou igual a M, vezes (x - a). E, mais uma vez, todas as restrições estão seguras. Isto é para "x" como parte do intervalo fechado entre "a" e "b", mas parece que estamos a fazer progressos, pelo menos para a enésima + 1 derivada e a enésima derivada. Vamos ver se podemos continuar. É a mesma ideia geral, nós sabemos que podemos tomar a integral de ambos os lados. Então, vamos fazer isso. E nós sabemos que é algo ainda menor do que isto. É o valor absoluto da integral da função erro. A enésima derivada da função erro de "x", dx. Nós sabemos que isso é menor ou igual com base exatamente na mesma lógica ali. Isso é útil porque isto vai ser apenas a enésima - 1 derivada da função erro de "x". E, é claro, temos o valor absoluto fora dela. Agora, isto vai ser menor ou igual... É menor ou igual a isto, que é menor ou igual a isto, então, a antiderivada disto vai ser: M vezes (x - a)², sobre 2. E, mais uma vez, estamos tratando de uma integração indefinida, então, vou colocar um + c aqui. Vamos usar a mesma lógica: se avaliarmos isto em "a", se avaliarmos ambos os lados em "a", o lado esquerdo avaliado em "a" sabemos que vai ser igual a zero. Você começa com zero quando avalia o lado esquerdo de "a". Em relação ao lado direito, para o valor de "a", você começa com M vezes (x - a)², sobre 2. Então, você obtém 0 + c. Assim, você tem que zero é menor ou igual a "c". E nós queremos minimizar nossa constante, queremos minimizar o limite superior Nós queremos escolher o menor "c" possível para evitar constrangimentos. O menor "c" possível que atenda à nossa restrição é o zero. Assim, a ideia geral aqui é que podemos continuar fazendo isso. Nós podemos continuar fazendo exatamente o que estamos fazendo por todo esse caminho e assim, continuarmos integrando exatamente da mesma forma, da mesma forma que eu tenho feito, usando esta mesma propriedade bem aqui. Faremos isso até chegar ao limite da função erro de "x" Assim, você poderá ver isto como uma derivada zero. Você sabe, nós estamos indo em direção à derivada zero, que é apenas a função erro. O limite na função erro de "x" vai ser menor ou igual a o quê? Você já pode ver o padrão aqui. Vai ser M vezes (x - a). E o expoente, uma maneira de pensar sobre isso: o expoente mais este derivado vai ser igual a n + 1. Agora, esta derivada é zero. Assim, este expoente vai ser n + 1. E, seja qual for o expoente, você vai ter (n + 1) fatorial bem aqui. De onde vem esse (n + 1) fatorial? Eu só tinha o 2 aqui. Pense sobre o que acontece quando integramos isto novamente. Você vai levantar esta para a terceira potência e depois dividir por 3. Portanto, seu denominador vai ser 2 vezes 3. Quando integrar novamente, você vai elevá-lo à quarta potência e depois dividir por 4. Assim, seu denominador vai ser 2 vezes 3 vezes 4, que é 4 fatorial. Então, o denominador vai ser um fatorial da potência. Mas o que é realmente interessante é que agora somos capazes de descobrir o valor máximo da nossa função. Se somos capazes de descobrir o valor máximo da nossa função ali, temos agora uma maneira de limitar a função erro durante um intervalo de tempo, durante o intervalo de tempo entre "a" e "b". Por exemplo, a função erro em "b". Agora podemos limitar porque sabemos o que é o M. Podemos dizer que a função erro em "b" vai ser menor ou igual a M vezes (b - a) elevado a (n + 1), sobre (n + 1) fatorial. E finalmente, chegamos aqui a um poderoso resultado. Agora nós podemos mostrar alguns exemplos em que isto poderia ser aplicado.