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Transcrição de vídeo

temos esta série infinita aqui o objetivo deste vídeo será encontrar qual o intervalo de convergência para esta série ou seja vamos encontrar qual intervalo dos valores de x para que esta série com verde e assim como os outros vídeos sinta se à vontade para parar quando quiser e tentar resolver sozinho bem então vamos lá quando olhamos para esta série não vemos de maneira limpa que ela se encaixa em uma série alternada ou uma série geométrica e quando vejo algo assim penso logo no teste da razão pois o testados não tende a ser bem geral e para resolvermos o teste da razão podemos pensar no limite dn entendendo infinito do valor absoluto de a eni mais um sobre a ii e assim teremos que quando a série for menor que 1 a série irá convergir quando a série for maior que 1 irá divergir e quando a série for igual a 1 será em conclusiva e teremos que usar outros testes para ver se esta série converge ou diversos bem então vamos pensar nisto e como podemos resolver podemos começar substituindo os valores então teremos que o limite de ele entender o infinito do valor absoluto desta primeira parte aqui que ficará x elevado a ele mas o / que ele mais um vezes cinco elevado ainda mais 1 / esta segunda parte aqui que ficará x elevado a ele / n vezes cinco elevado em e para sempre ficamos esta coisa aqui podemos escrever lá como sendo o numerador vezes o inverso do denominador então ficaremos com um x e levado a ele mais um sobre ele mais um vez em 5 m mas o vezes o inverso que será n vezes cinco elevado a eni / x elevado ainda agora então podemos fazer a simplificação podemos então começar dividido o numerador pelo denominador então teremos um xis aqui em cima e dividir aqui por cinco elevado a n 5 levado ainda ficam aqui o mais 15 então teremos agora x n / 5 n mais cinco que seria então esta parte 1 x vezes em dividida então pela distribuição dos 5 daqui cinco vezes n 5 n mas cinco vezes 15 ok então esta parte agora está bem significado e apenas escrevendo isto agora substituindo por isso teremos que o limite e nintendo infinito do valor absoluto de x sobre cinco mais cinco sobre que reparem que aqui para simplificar um pouco mais apenas dividir o numerador e um denominador por ele então eniac cortou ficou x e aqui os 2 / n 5 mas cinco sobre agora podemos ver de forma clara o que irá acontecer quando ele tem de infinito vemos que quando e nintendo infinito o valor de x não irá mudar 5 não era mudar umas 5 sobre n tenderá a 0 então assim podemos escrever que o limite é igual valor absoluto de x sobre cinco agora ficou fácil pensar em condições que o valor absoluto de che sobre se será menor que 1 irá corrigir quando será maior que 1 irá divertir em condições em que será igual a 1 e será inconclusivo bom então vamos começar pensando em condições onde este valor irá convergir ou seja o valor absoluto de x sobre 5 será menor que 1 vamos lá então o valor absoluto de x sobre cinco tem que ser menor que 1 isto é a mesma coisa que se inscrever - como sendo x sobre 5 maior que menos um menor que 1 e para sempre ficar ainda mais podemos multiplicar todos os lados por cinco e teremos que x será maior que menos 5 menor que 5 portanto agora sabemos que esse intervalo é verdadeiro e fará parte do nosso intervalo de convergência ou seja se x pertencer a este intervalo a nossa série irá convergir mas nós ainda não acabamos vamos pensar agora no caso inconclusivo temos nesse cenário que o valor absoluto de x sobre cinco é igual e podemos escrever isso de duas maneiras como sendo então x sobre cinco igual a um ouchi sobre cinco igual a menos um e simplificando ainda mais apenas multiplicando os lados por cinco podemos escrever como x igual a 5 ou x igual a menos 5 e estes serão os dois casos quais iremos utilizar o teste da razão e para isso iremos substituir os dois temas ano de cada vez na nossa série original no primeiro cenário em que temos x igual a 5 substituindo na série original ficaremos com um somatório de n igual entender no infinito de x substituído por 51 tão 5 sobre n / n 13 5 sobre e simplificando isto teremos somatório de n igual atendendo ao infinito de um sobre ele e esta é uma série harmônica dp onde p é igual a 1 e nós sabemos de vídeos anteriores que será harmônica sondhi p é igual a um ir a divergir e agora vamos pensar no segundo caso em que x é igual a menos cinco então substituindo na série original ficaremos com um somatório de n igual entender o infinito de - 5 e levado a ele sobre n vezes 5 e levá-lo em que podemos escrever desta outra forma para simplificar as coisas assim podemos anular esse número a dor com esse denominador que são iguais e teremos uma forma mais simples que será o somatório de igual a 1 atendendo infinito de -1 elevado aí vezes um sobre ele e analisando isto sabemos que é uma série harmônica alternada sabemos também que essa série harmônica alternada com verde porém você pode usar também o teste da série alternada e observando isso sabemos que quando o n tende ao infinito o limite será igual a zero logo definitivamente esta série harmônica aqui converge então eu estou aqui também converge sabendo então que ao menos cinco converge podemos adicioná lo ao nosso intervalo de convergência logo podemos apenas mudar esse sinal para que x seja maior ou igual a menos 5 assim então chegaremos à conclusão que este é o nosso verdadeiro intervalo de convergência
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