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Transcrição de vídeo

no vídeo passado nós usamos a expansão de mclaren para aproximar a função elevado x inicialmente tivemos a sensação de que essa expansão aqui se tratava de uma combinação de dos polígonos de aproximação de cosseno e dizendo entretanto não é bem isso que acontece quando a gente olha mais atentamente se a gente fizer uma combinação desses dois por nomes de vários termos aqui com coeficientes negativos que vão aparecer aqui nesses polinômios mas que não aparecem na expansão de x entretanto nosso objetivo neste vídeo é de alguma forma conseguir relacionar e ashes com as funções sendo e cosseno então eu vou usar um certo truck não sei se posso dizer truque mas vamos usar um artifício aqui pra gente tentar chegar nesse resultado se a gente admite que a x é praticamente dado por essa expressão vamos dizer que quanto mais temos gente coloca aqui melhor fica a nossa aproximação e mais próximo de uma igualdade isso fica gente admite que a gente vai usar infinitos temos aqui nessa expansão a gente vai ter que a x é igualzinho a essa expansão zinho aqui bom e aí eu pergunto pra vocês o que seria o que a gente queria que a gente fizesse e elevado aí x 1 inicialmente vai falar e levar alguma coisa e x não é uma coisa muito simples é parece algo meio complicado mas se a gente sabe que elevada x é igual a essa expansão se a gente trocar com um x por e x a gente consegue aqui colocando um x no lugar do x ac calcular essa aproximação para essa função zinho aqui e é como a gente conhece também as potências de e ao quadrado sequer - 1 e ao clube eu sei que é - e ea quarta sei que é um e assim se vai se repetindo pra sempre um ciclo a gente pode ter sucesso para tentar calcular essa expansão zinho aqui vamos fazer isso então vamos então trocar aqui ó sx por e xis ea gente vai ter elevado e xx vai ser aproximadamente ea nossa expansão que quanto mais tempo a gente colocar nessa expansão que melhor vai ficar essa aproximação na verdade isso aqui não é uma forma de demonstração formal nesse resultado a gente está apenas fazendo um processo intuitivo para tentar chegar no resultado então aqui onde tiver x ac na expansão a gente vai trocar por x então vamos lá isso vai ficar 1 mas aí tem x então vai ficar e x mas aí tem x ao quadrado sobre dois fatores ao vai ficar e x ao quadrado sobre dois fatores ao mas depois nós temos x ao cubo sobre três fatores ao e vai ficar e x ao cubo sobre três fatores ao mas x a quarta sobre quatro fatores ao ea gente vai te x elevado a quarta sobre quatro fatores ao mas x a quinta vai ficar x a quinta sobre cinco fatores ao e aí a gente pode continuar quanto mais temos gente colocar aqui melhor nela já deu pra gente ter mais ou menos uma idéia vamos avaliar que dessas potências de xis aqui nós temos e x ao quadrado x ao cubo abrir isso aqui pra gente ver melhor como é que fica essa expansão já quem está construindo isso aqui vai ficar 1 mas e x mas aqui eu tenho riches ao quadrado então vai ficar aí quadrado vezes quadrado e ao quadrado a gente sabe que é menos um então na verdade a gente vai ter menos 11 vezes x quadrado sobre dois fatores ao mas aqui vai ficar e ao cubo vezes ao cubo e ao cubo é e ao quadrado vezes e ao quadrado a gente viu que menos um então vai ficar - isso aqui - e aí vai ficar x ao cubo sobre três fatores há aqui a gente vai ter e é a quarta vez x a quarta sobre 14 ao ea quarta eu posso pensar que aí ao quadrado vezes e ao quadrado e ao quadrado - um então vai ficar menos 1 vez menos um isso aqui então vai dar mais um aqui vai ficar mais um x a quarta sobre quatro fatores e aí continua no iaquinta eu posso pensar que é ea quarta vezes e ea quarta a gente viu que é um então isso aqui volta a seguir ea 5ª série x a quinta sobre cinco fatores ao e aí já pode perceber que tem um certo padrão aqui de repetição para os coeficientes a 1 i - 1 - e um i - um x e levado à 6ª sobre seis fatores ao e menos e x elevado a sétima sobre sete fatorial e quanto mais tempo a gente colocar aqui melhor né pra nossa aproximação agora dá uma olhada que a gente tem aqui alguns coeficientes aqui são reais e alguns coeficientes são imaginários purus então vamos separar aqui porque a gente não separa esses caras que são reais desses caras que são imaginários puros vim aqui vamos pegar primeiros 800 reais então esse cara que o coeficiente real aqui nós temos coeficiente real aqui nós temos um cliente real e aqui também temos conhecimento real de inscrever esses caras aqui vai ficar 1 - x quadrado sobre dois fatores ao depois mais x a quarta sobre quatro fatores ao menos x a sexta sobre seis fatores ao né e aqui a gente pode continuar com essa ideia que pegando sempre esses carinhos com coeficientes reais né chegamos aqui que a gente pegou e selecionou os coeficientes reais junto a esses termos aqui todos eles juntos o bom é que sobrou sobrou para os nossos coeficientes que tem números imaginário então vamos negar que esse aqui é esse aqui esse aqui são todos os caras que têm coeficiente que aparecem e por isso eles são conhecidos são números imaginários puros bom como a gente vai colocar todos eles têm vamos colocar o iraque do lado de fora uma vez só né um fator a todos eles por isso não vai aparecer o iac vezes e já saiu vai ficar x ac - e os saiu vai ficar menos x ao cubo sobre três fatores ao ac também já saiu o iva vai ficar x a quinta sobre cinco fatores ao né mas x ac passou de 5 fatorial e aqui - o ensaio foi ficar x a sétima sobre sete fatorial ea gente pode continuar isso aqui colocando esses termos que são que têm coeficiente imaginários puros todos juntos aqui mas é o mais legal é que isso aqui que a gente está fazendo a gente arrumou aqui uma aproximação aqui pra e ashes né e não ache elevada riches então isso aqui que está fazendo aqui é a aproximação de elevado em x nós podemos dizer que elevado aí x vou usar uma cor neutra aqui né a gente pode escrever que e elevado aí x é igual a tudo isso aqui tá aqui né mas se você se lembrar dos vídeos anteriores se a gente pegar esse pedaço aqui onde colocou os termos com coeficientes reais esse pedaço aqui exatamente esse por nome que a gente usou para aproximar o conselho x e esse pedaço aqui a gente colocou os termos que aparecem coeficiente imaginários esse pedaço aqui exatamente o poli nome que a gente usou para aproximar ser um x então de alguma forma a gente já consegue relacionar cosseno e sendo com algo parecido com a x se isso aqui é o cosseno x principalmente quando a gente toma infinitos termos aqui para essa expansão e esse pedaço aqui és e no chez então isso aqui é cena x a gente chega então o resultado fascinante é uma fórmula muito famosa inscrevê lo aqui que é elevado e x é igual a você no chez e aí já deve está revirando na cadeira nem se é fácil realmente fascinante principalmente quando você vê pela primeira vez mais e vezes 0 x 1 e esse resultado aqui ficou famoso e conhecido como a fórmula 1 fórmula de olha devido o grande matemático do século 18 leonardo goy e quando digo que é realmente fascinante para pra pensar um pouquinho que nós estamos fazendo aqui ó ele está pegando aqui o número e o número irracional famoso provavelmente você já viu lá em matemática financeira quando a gente vai fazer capitalização contínua está pegando também com cnc no que são razões que surgem no triângulo retângulo e de alguma forma a gente também considerar que um número inimaginável ue seria e vamos dizer a raiz quadrada de um número negativo isso tudo fica relacionado através dessa equação zinho aqui o que é fantástico mas vamos tentar fazer isso aqui fica mais impressionante é ver se a gente colocasse um lugar do x1 outro número também muito famoso é o número pi pi que é a razão entre o comprimento eo diâmetro de um circo que será que acontece quando a gente tenta usar a fórmula de olho e colocando no lugar do x hoppe vamos pegar em mais um no meio maluco número irracional e vamos colocar aqui junto também então aqui a gente vai ter o seguinte é elevado aeep isso vai ser igual a gente está trocando então x porp ficar coçando pmas e no pi vamos lembrar que concentra pisciano pi fazendo aqui o trigo o circo trigonométrica rapidinho a gente vai ter que o seguinte 10 está aqui e aqui é meia volta então aqui a gente tem do lado de cá pe o cosseno é a projeção horizontal aqui para quando a gente está em pior projeção horizontal aqui seria esse segmento vinha aqui com ele está num ciclo trigonométrica um raio 1 esse valor equivale um a questão é como a gente foi para a esquerda então o cosseno de pele vai ser menos esquerda - um tá já o cene x seria essa projeção vertical e aqui quando você tá em pinça percebe que não vai nem para cima nem para baixo aqui no eixo vertical então quando a equipe a projeção vertical aqui é zero então esse pedaço aqui não tem e aí a gente tem que a gente conhece aqui como ficou famoso aqui também conhecido como a identidade identidade de olha então quando a gente pega a fórmula de o ler e aplica x iguape a gente cria a identidade de olha ele pode escrever isso aqui também de outra forma que haverá se eu conseguir ter um pouco mais de espaço e vamos a cores diferentes aqui pra enfatizar melhor que há mostrar bom vamos escrever essa identidade acrescentando mais um aqui dos dois lados então isso aqui vai ficar e elevado a e vezes e isso a gente vai acrescentar mais um mais um isso vai ser igual ao usar uma cor neutra igual a isso vai ser igual à do lado de kaká - um mais um é isso vai dar zero e isso é algo pra gente realmente parar pra pensar a gente tem aqui week por simplicidade eu posso escrever como raiz de -1 quadrados - um wii ele ajuda a gente a calcular as raízes de qualquer polinômios a gente tem também o pique seria a razão entre o comprimento de um círculo e seu diâmetro que é um número muito importante mas parece vídeo lugar totalmente diferente de quem é também o é que é outro número interessantíssimo que aparece por exemplo na capitalização continua lá um resultado muito importante da matemática financeira também temos que a função ea x quando você deriva a função ea x quantas vezes você derivar ela sempre vai daí a x então é um número muito muito impressionante mesmo e aparentemente o e não tem nada a ver de conexão conexão aqui com o irã nem nada a ver assim com o ppi aqui a gente tem também o número 1 que seria a identidade aqui da nossa multiplicação e o número 10 que seria identidade aqui da nossa edição que são dois números que dispensam comentários né e que mostra que essa equação mostra pra gente é que todos esses números bacanas aqui que a gente usou todos esses números interessantes que aparecem e em situações do nosso universo eles estão conectados de alguma forma mesmo que mística aqui e se isso aqui ó se isso aqui realmente não chama sua atenção no méxico a sua cabeça você provavelmente não tem emoção
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