Função como série geométrica

RKA8JV - O que está sendo pedido aqui é que você encontre uma série de potências para "f", sendo f(x) = 6 / 1 + x³. Bom, como a gente quer uma série de potências, você pode dizer: "vamos usar aqui a série de MacLaurin", já que a série de MacLaurin é um pouco mais simples para a gente calcular, já que ela é centrada em "x = 0". E é o que a gente vai fazer. A gente vai vir aqui, pegar essa função, avaliar em zero, pegar a derivada primeira desta função e também avaliar em zero, pegar a elevada segunda dessa função e também avaliar em zero, e continuar assim por diante. E aí a gente vai pegar a fórmula da série de MacLaurin e fazer essa expansão. Entretanto, quando você começar a fazer isso, você vai se complicar rapidinho. O que vai acontecer? Na verdade, avaliar essa função "f" em zero é fácil, é simples, assim como avaliar a derivada primeira desta função em zero também não vai trazer grandes problemas. Agora, quando a gente pegar a derivada segunda dessa função e a derivada terceira desta função para avaliar em zero, aí a gente vai se complicar rapidamente, e complica bastante. A gente pode tentar fazer uma simplificação aqui. Digamos que vai fazer o seguinte, vamos achar a série de MacLaurin para f(u) = 6 / 1 + u, no qual a gente tem aqui o u = x³. Então, a nossa ideia é: vamos achar aqui a expansão de MacLaurin em função de "u", e depois a gente substitui por x³. De fato, isso aqui já vai dar uma boa simplificada para a gente, e é uma outra maneira de a gente fazer também essa aproximação. Mas a forma mais simples de a gente fazer isso, dê uma olhada aqui para esta expressão. Vê se você consegue se lembrar de onde é que você já viu essa forma aqui. Bom, isso aqui está parecendo bastante com aquela forma que a gente usava para calcular soma de termos de uma série geométrica. Vamos aqui relembrar como é que a soma de uma série geométrica parece. Se a gente tiver aqui, então, a + aq, mais, e aqui a gente tem, o "a" é o primeiro termo e o "q" é a nossa razão, a gente vai sempre multiplicando aqui por "q", então aqui vai ficar aq² mais aq³, e assim a gente vai continuar para sempre, assim por diante. A gente sabe isto aqui que é igual ao primeiro termo, então "a", sobre 1 menos a nossa razão. E aí, se você olhar aqui para como a f(x) foi definida, a forma da f(x) e a forma de uma soma de uma série geométrica são muito parecidas aqui, né, elas são bem parecidas. Se a gente puder dizer assim, bom, está vendo este 6 aqui? E se este 6 aqui o for o meu "a"? Certo? Vamos reescrever isso aqui. A gente vai reescrever aqui como sendo 1 menos, digamos, menos x³. Então, se a gente fizer essa reescrita aqui, olha o que vai dar para a gente observar. É como se -x³ fosse aqui a nossa razão. Então aqui, a gente pode tentar reescrever isso aqui como o "a" sendo 6 e a nossa razão sendo -x³. E aí você vai ver isso aqui fica muito mais simples para a gente fazer. Então, o "a" é 6, vamos trocar aqui "a" por 6, mais "aq", Bom, a razão aqui é -x³ e o "a" é 6, né, então, isso aqui vai ficar -6x³, mais, agora a gente vai ter, "a", continua sendo 6, vezes a razão ao quadrado. Quando eu faço (-x³)² eu estou elevando esse cara negativo ao quadrado, e vai ficar positivo, então, aqui vai dar mais. E aí vai ser (6x³)². (x³)² vai ficar x⁶. Então, isso aqui vai dar 6x⁶. Aí quando a gente fizer agora o próximo termo, vai ser aq³. q³ aqui, a gente tem um número negativo agora elevado a um expoente ímpar, que é 3. Isso aqui vai dar negativo. E aí a gente tem (x³)³. Isso vai dar x⁹, então vai ficar "a", que é 6x⁹. E aí se se eu continuasse essa ideia aqui, também teria o próximo o termo, que seria mais 6x¹², já dá até para a gente observar um padrão aqui de construção disso, e a gente pode continuar aqui. Quantos termos a gente quiser colocar aqui, isso vai assim por diante. Bom, mas o que eu quero te dizer é o seguinte, aqui foi bem simples de a gente fazer isso, porque a gente conseguiu enxergar a nossa função f(x) aqui, a maneira como ela foi definida, como uma soma de uma série geométrica. E aí, aqui a gente tem isso aqui, é a expansão de MacLaurin, da série de MacLaurin, para a nossa função f(x). O ponto era, que a gente não precisava passar por todo aquele sofrimento para encontrar essa expansão se a gente conseguisse perceber isso, que a gente poderia perceber isso como a soma de uma série geométrica. E este aqui é um artifício muito útil para a gente.