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Função como série geométrica

Expressões na forma a/(1-r) representam a soma infinita de séries geométricas, cujo termo inicial é a e a razão constante é r, que é escrita como Σa(r)ⁿ. Como séries geométricas são uma classe de séries de potência, obtemos muito facilmente a representação de uma série de potências a/(1-r).

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  • Avatar piceratops tree style do usuário Guilherme LR Oliveira
    This aproximation works only if |x|<1 right?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar duskpin ultimate style do usuário Fernando Pong
      Yes, it's right. Sim. Isso mesmo. Essa série converge quando|-x³| < 1 ⇔ |x| < 1. Porque uma razão(q) com denominador maior que o numerador(|x| < 1) terá termos cada vez mais próximos de zero.
      (1 voto)
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Transcrição de vídeo

o que está sendo pedido aqui é que você encontra uma série de potências para f sendo fdx igual a seis sobre um maxixe ao cubo bom como a gente quer uma série de potências você pode dizer vamos usar aqui a série de mclaren já que a série d macorin ela é um pouco mais simples pra gente calcular já que ela é centrada em x igual a zero é o que a gente vai fazer a gente vai vir aqui pegar essa função avaliar 0 pegado elevada primeira dessa função e também avaliar 0 pegado elevada segundo dessa função e também avaliar 0 e continua assim por diante e aí a gente vai pegar a fórmula da série d maclaurin e fazer essa expansão entretanto quando você começar a fazer isso você vai se complicar rapidinho que vai acontecer na verdade avaliar essa função f10 é fácil é simples assim como avaliada elevada primeiro dessa função 0 também não vai trazer grandes problemas agora quando a gente pegar a derivada segunda dessa função é derivada terceira dessa função para avaliar 0 aí a gente vai se complicar rapidamente e complica bastante a gente pode tentar fazer uma simplificação aqui é digamos que vai fazer o seguinte vamos achar a série de mclaren pra f de u igual a seis sobre um a mais o no qual a gente tem aqui o igual à x ao cubo a nossa ideia vamos achar que a expansão de mclaren em função de um e depois de substituir x ao cubo de fato aqui já vai dar uma boa simplificada é pra gente e é uma outra maneira de a gente fazer também essa aproximação mas a fase a forma mais simples de a gente fazer isso dá uma olhada aqui pra essa expressão e se você consegue se lembrar de onde é que você já viu essa forma aqui bom isso aqui está parecendo bastante com aquela forma que a gente usava para calcular soma de termos de uma série geométrica como aqui relembrar como é que a soma de uma série geométrica parece se a gente tiver aqui então a mais há vezes que mais é que a gente tem o primeiro termo nem o que a nossa razão a gente vai sempre multiplicando aqui porque então aqui vai ficar aqui é o quadrado mas há vezes que ao google e assim a gente vai continuar para sempre é assim por diante a gente sabe que é igual ao primeiro tempo então a sobre um - a nossa razão e aí se você olhar aqui pra como a fdx foi definida a forma da fdx ea forma de uma soma de uma série geométricas são muito parecidas aqui não são bem parecidas gente puder dizer assim é bom tá vendo esses seis aqui ó e se esses eis aqui o fumo meu a certo escrever isso aqui ó já escrevi aqui como sendo um - digamos menos x all como então a gente fizesse a reescrita aquilo que vai dar para a gente observar - x ao cubo fosse aqui a nossa razão a gente pode tentar reescrever isso daqui como oa sendo 6 ea nossa razão sendo menos x ao cubo e você vai ver isso aqui fica muito mais simples né pra gente fazer então o a6 vamos trocar qa por 6 1 mas há vezes que é bom a razão aqui é menos x ao cubo e uruguai 6 então aqui vai ficar menos 6 x ao cubo mas agora a gente vai ter a continua sendo seis vezes a razão ao quadrado quando eu faço - x ao cubo ao quadrado e levando esse cara negativa ao quadrado vai ficar positiva então aqui vai dar mais e vai ser seis vezes ao google quadrado x ao cubo quadrado vai ficar x a sexta que vai dar 6 x a sexta quando a gente fizer agora o próximo tema vai ser a vezes que é o cubo né que é o cubo aqui a gente tem um número negativo agora levado o sporting porque três isso aqui vai dar negativo ea gente tem x ao cubo elevado ao cubo e isso vai dar x a nona então vai ficar aqui é seis vezes x levado à 9ª e se eu continuasse essa idéia aqui também teria o próximo tema seria mais 6 x elevado a 12 já dá até pra gente observar um padrão aqui de construção disso a gente pode continuar aqui né quantos termos a gente quiser colocar aqui isso aqui vai assim por diante bom mas o que eu quero te dizer o seguinte aqui foi bem simples é a gente fazer isso porque a gente conseguiu enxergar a nossa função fdx aqui a maneira como ela foi definida como uma soma de uma série e aí a gente tem isso aqui é a expansão dede maclaurin da série de mclaren para a nossa função fdx o ponto era que a gente não precisa passar por todo aquele sofrimento para encontrar essa expansão se a gente conseguir perceber isso que a gente poderia usar isso aqui como perceber isso aqui como o a soma de uma série geométrica e é esse aqui é um artifício muito útil para a gente