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Série geométrica como uma função

Séries de potência da forma  Σk(x-a)ⁿ (em que k é constante) são séries geométricas com um termo inicial k e uma razão comum (x-a). Como temos uma expressão para a soma das séries geométricas, nós podemos reescrever essa série de potências como uma expressão finita. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

nós temos aqui uma função definida como uma série infinita e o objetivo desse vídeo é reescrever essa função de uma forma mais tradicional bom que pode ocorrer pra você é que se isso aqui é uma série geométrica a gente sabe como expressar a soma de série geométricas infinitas pelo menos para aqueles valores em que essa série vai convergir bom então o primeiro passo se fazer aqui é a gente tentar verificar se realmente isso aqui é uma série geométrica então pra gente verificar isso quando a gente pegar dois títulos consecutivos aqui se a gente sair de um termo para o seu sucessor a gente vai sempre tem que multiplicar para o mesmo valor que a gente chama de razão então aqui pra gente sair do 2 e chegaram menos 8 x quadrado a gente vai ter que multiplicar por menos 4 x quadrado e se a gente pegar 8 x quadrado e multiplicar por menos 4 x quadrado vai ficar 32 x a quarta e se a gente pegar 32 x a quarta e multiplicar também pelo menos 4 x quadrado vai ficar menos 128 x a sexta portanto a gente já descobriu aqui que isso aqui é assim uma série geométrica né ea gente tenha o primeiro termo sendo 2 ea razão sendo menos 4 x quadrado ou seja eu posso escrever que fdx ela vai ser igual ao somatório pra n igual a zero até infinito de vamos colocar aqui o nosso primeiro termo aqui é 2 então aqui vai ficar 2 vezes a razão que a gente tem que é menos 4 x 1 quadrado e essa razão vai estar elevado a n então isso aqui é uma série geométrica o primeiro tema é 2 ea razão é menos 4 x quadrado mas aí fica a pergunta quais valores de xisto aqui converge bom o que a gente sabe que uma série geométrica infinita a soma vai convergir só seis somente seu módulo dessa razão aqui foi menor que 1 então vamos escrever isso a gente sabe que uma série geométrica com verde então ela converse se a gente tiver o módulo da nossa razão - 4 x quadrado ou seja o módulo aqui tem que ser menor do que 1 bom a gente sabe que pra qualquer valor de x que escolher 4 x quadrado vai ser sempre maior e gol quiser negativo não fica como a gente está colocando menos na frente então - 4 x quadrado vai ser sempre menor ou igual a zero mas como a gente vai tomar o módulo disso e isso é sempre menor ou igual a zero então posso dizer que o módulo disso é simplesmente 4 x quadrado então 4 x quadrado tem que ser menor que 1 e aí agora como a gente está aqui com quatro multiplicando vou passar pra ela vai ficar x quadrado tem que ser menor que um quarto e agora pra gente se livrar de seu quadrado aqui vou tirar raiz quadrada dos dois lados não vai ficar a raiz quadrada de x ao quadrado menor que a raiz quadrada de um quarto a gente tem raiz quadrada de x quadrado isso aqui é módulo x menor que raiz quadrada de um quarto isso vai dar meio portanto a gente sabe que o módulo de x tem que ser menor que meio ou seja a gente já consegue inscrever o intervalo intervalo vai ser o x vai ter que está entre - meio e meio nesse intervalo aqui nesse intervalo a gente garante que essa série vai convergir bom vamos escrever isso aqui a gente vai trabalhando dentro do intervalo de convergência essa série aqui ela vai ser o seguinte nós vamos ter aqui o primeiro termo nessa soma vai ser dada por o nosso primeiro termo o nosso primeiro tema que é 2 sobre um - a nossa razão ou escrever razão aqui a razão é menos 4 x quadrado e isso tudo vamos escrever então resultado aqui vai ser bom 2 sobre meros com menos vai virar mais 4 x quadrado então a gente pode escrever essa função aqui que foi escrita como uma série infinita e pode escrever ela usando essa forma aqui tá mas a gente tem que lembrar que isso só vale pra esse só garante isso no intervalo de convergência então a gente está garantindo que essa função pode ser inscrito nessa forma aqui quando a gente vai trabalhando dentro desse tempo quando xv entre - meio e meio