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Série geométrica como uma função

Séries de potência da forma  Σk(x-a)ⁿ (em que k é constante) são séries geométricas com um termo inicial k e uma razão comum (x-a). Como temos uma expressão para a soma das séries geométricas, nós podemos reescrever essa série de potências como uma expressão finita. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

[RKA20C] Nós temos aqui uma função definida como uma série infinita. E o objetivo deste vídeo é reescrever essa função de uma forma mais tradicional. Bom, o que pode ocorrer para você é que, se isso é uma série geométrica, a gente sabe como expressar a soma de séries geométricas infinitas. Pelo menos para aqueles valores em que essa série vai convergir. Bom, o primeiro passo a se fazer aqui, é a gente tentar verificar se realmente isto aqui é uma série geométrica. Então, para a gente verificar isso, quando a gente pegar dois termos consecutivos aqui, se a gente sair de um termo para o seu sucessor, a gente vai sempre ter que multiplicar pelo mesmo valor, que a gente chama de razão. Aqui, para a gente sair do 2 e chegar ao -8x², a gente vai ter que multiplicar por -4x². E, se a gente pegar 8x² e multiplicar por -4x², vai ficar 32x⁴. E, se a gente pegar 32x⁴ e multiplicar também por -4x², vai ficar -128x⁶. Portanto, a gente já descobriu que isso é sim uma série geométrica, e a gente tem o primeiro termo sendo 2, e a razão sendo -4x². Ou seja, eu posso escrever que f(x) vai ser igual ao somatório para n = 0 até infinito de... Vamos colocar aqui. O nosso primeiro termo é 2, então, vai ficar 2 vezes a razão que a gente tem, que é -4x², e essa razão vai estar elevada a n. Então, isto aqui é uma série geométrica em que o primeiro termo é 2 e a razão é -4x². Mas aí fica a pergunta: para quais valores de x isto aqui converge? Bom, o que a gente sabe é que, em uma série geométrica infinita, a soma vai convergir se, e somente se, o módulo desta razão aqui for menor que 1. Então, vamos escrever isso. A gente sabe que uma série geométrica converge... Então, ela converge se a gente tiver o módulo da nossa razão -4x²... Ou seja, o módulo disto aqui tem que ser menor que 1. Bom, a gente sabe que, para qualquer valor de x que eu escolher, 4x² vai ser sempre maior ou igual a zero, negativo não fica. Como a gente está colocando o menos na frente, então, -4x² vai ser sempre menor ou igual a zero. Mas como a gente vai tomar o módulo disso, e isso é sempre ≤ 0, então, posso dizer que o módulo disso é simplesmente 4x². Então, 4x² tem que ser menor que 1. Agora, como a gente está aqui com o 4 multiplicando, vou passar para lá, vai ficar x² tem que ser menor que ¼. Agora, para a gente se livrar desse ao quadrado, vou tirar a raiz quadrada dos dois lados. Então, vai ficar a raiz quadrada de x² menor que a raiz quadrada de ¼. A gente tem raiz quadrada de x², isso aqui é módulo de x, menor que raiz quadrada de ¼, isso vai dar ½. Portanto, a gente sabe que o módulo de x tem que ser menor que ½, ou seja, a gente já consegue escrever o intervalo. O intervalo vai ser... O x vai ter que estar entre -½ e ½. Neste intervalo aqui, a gente garante que essa série vai convergir. Bom, vamos escrever isso aqui. Se a gente estiver trabalhando dentro do intervalo de convergência, esta série aqui vai ser o seguinte... Nós vamos ter aqui: o primeiro termo nessa soma vai ser dado pelo nosso primeiro termo, que é 2, sobre 1 menos a nossa razão. Vamos escrever a razão aqui, -4x². E isso tudo... Vamos escrever, então. O resultado aqui vai ser 2 sobre: 1... menos com menos, vai virar +4x². Então, a gente pode escrever essa função que foi escrita como uma série infinita, a gente pode escrevê-la usando esta forma aqui, tá? Mas, a gente tem que lembrar que isso só vale para... A gente só garante isso no intervalo de convergência. Então, a gente está garantindo que esta função pode ser escrita nesta forma aqui quando a gente estiver trabalhando dentro deste intervalo, quando x estiver entre -½ e ½.